¿Puedo usar el Hospital para encontrar un límite después de cambiar a las coordenadas polares?

Question

Me preguntaba si hay otro enfoque en lugar de usar el $log (x + 1) \sim_ {0} x$ o la serie de Taylor para resolver:

$$ \lim_ {(x,y) \to (0,0)} f(x,y)={ \ln (xy + 1) \over x}.$$

En particular, me pregunto si puedo usar las coordenadas polares y el Hopital.

Algo así. Primero, cambiamos a las coordenadas polares:

$$ \lim_ {(r) \to (0)} f(r)={ \ln (r^2 \cos\phi \sin\phi + 1) \over r \cos \phi }.$$

Ahora usamos el Hospital:

\begin {alinear} & \lim_ {(r) \to (0)} f(r)= \lim_ {(r) \to (0)}{ \ln (r^2 \cos\phi \sin\phi + 1) \over r \cos \phi } \\ =& \lim_ {(r) \to (0)}{{d \over dr}( \ln (r^2 \cos\phi \sin\phi + 1) \over {d \over dr} (r \cos \phi )} \\ =& \lim_ {(r) \to (0)}{2r \sin\phi \cos\phi \over {r^2 \sin\phi \cos ^2 \phi + \cos\phi }} \\ =& \lim_ {(r) \to (0)}{2r \sin\phi \over r^2 \sin\phi \cos\phi +1}=0. \end {alinear}

Como $$ \lim_ {(r) \to (0)} f( \phi )= {2r \sin\phi }= 0.$$

¿Tiene esto algún sentido o no puedo usar el hospital en este caso?

Answer 1

En la regla de L'Hospital se asumió que el límite es de la forma $\frac{0}{0}$ en el límite y en el último caso esto no es cierto. También hay otro problema con el cálculo del límite radialmente. Consideremos la función $f(x,y) = \Big\{\begin{eqnarray} 1, & \ y = x^2 \\ 0 , & \ y \neq x^2 \end{eqnarray}$ . Esto tiene la propiedad $\lim_{r \rightarrow 0} f(r,\theta) = 0$ por cada $\theta$ pero $f$ no tiene límite en el origo. Ahora recordemos la definición de límite en $x_0$ . Para cada $\epsilon > 0$ hay $\delta > 0$ s.t. $|x-x_0| < \delta$ implica $|f(x)-a| < \epsilon$ . Eso significa que hay que calcular una estimación para neigborhoods finitos de $x_0$ y luego mostrar que esas estimaciones van a $0$ . La regla de L'hospital no es buena para ese propósito porque sólo da el límite sin conocer las estimaciones.

Answer 2

Unas cuantas cuestiones:

¿Por qué utiliza $r$ en algunos lugares y $p$ en otros?

Te falta un factor de $r$ en su sustitución de $x y$ .

No deberías aplicar la regla de L'Hopital por segunda vez, ya que tu numerador y tu denominador no tienden ambos a cero o al infinito como $r$ ( $p$ ?) tiende a cero. En esta fase, se puede sustituir por $r$ / $p$ . (Aunque la expresión será diferente una vez que se tenga en cuenta lo anterior)

Por lo demás, creo que está bien.