En primer lugar usted puede notar que para un ordinal límite $\delta$, $L_\delta\models V=L$ y, en particular, $L_\delta$ tiene un definibles por el buen orden de tipo $\delta$.
Por lo que el uso del axioma de elección puede ser removido y en su lugar se puede utilizar el definibles por el bien órdenes para todo lugar.
Entonces la prueba es bastante similar. Primera nota de que $L_\omega$ es contable; a continuación, proceder por inducción. $L_{\alpha+1}$ tiene un bijection con $(L_\alpha)^{<\omega}\times\omega$ (mediante la codificación de las fórmulas y parámetros) y usando la hipótesis de inducción $|\alpha|=|L_\alpha|=|L_{\alpha+1}|=|\alpha+1|$. Al llegar al límite de los números ordinales, utilice el hecho de que no es definible bien ordenar a la conclusión de que la $L_\delta$ es la unión de manera uniforme bien de conjuntos ordenados y a la conclusión de $|L_\delta|=|\delta|\cdot\sup\{|L_\alpha|\mid\alpha<\delta\}=|\delta|\cdot|\delta|=|\delta|$.
(Todo el cardenal aritmética es cierto ya que tiene para los ordinales sin utilizar la opción).
Nota, por cierto, que Gödel demostró que el axioma de elección es del todo consistente con el resto de los axiomas de la teoría de conjuntos demostrando que tiene en $L$. Así que todos los argumentos acerca de la construcción de la $L$ no, moralmente, la apelación al axioma de elección. Y ellos no.
