Demostrar que $A+I_n$ es invertible, donde $\left\lVert A\right\rVert<1$

Question

<blockquote> <p>Que $\left\lVert\cdot\right\rVert:\mathbb R^{n\times n}\to\mathbb R$ ser una norma de matriz submultiplicative y $A\in\mathbb R^{n\times n}$ tal que $\lVert A\rVert<1$. Demostrar que $A+I_n$ es invertible, donde la matriz de identidad en $I_n$ $\mathbb R^{n\times n}$.</p> </blockquote> <p>He intentado subir con algo como $$\lVert A+I_n\rVert=\lVert A(I_n+A^{-1})\rVert\leq\lVert A\rVert\cdot\lVert(I_n+A^{-1})\rVert<\lVert I_n+A^{-1}\rVert,$ $ pero que no parece llegarme. Al final, creo que debo tener alguno (en) la igualdad con el determinante de la $I_n+A^{-1}$ en ella (y no es $0$), pero no sé cómo llegar allí. ¿Cómo puedo proceder?</p>

Answer 1

Tenga en cuenta que para cualquier matriz $M$: si $\lambda$ es un valor propio, $|\lambda|

Ahora, si es un valor propio de $\mu$ $A + I$ $(\mu - 1)$ es un valor propio de $A + I$, que nos dice que $|\mu - 1| no tener cero como un valor propio. Sigue que $A+I$ es invertible.

Answer 2

Dada una matriz a tal que $\lVert \mathbf{A} \rVert < 1$, la matriz $\mathbf{I} \color{red}{-} \mathbf{A}$ es nonsingular con $$ \left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty}\mathbf{A}^{k}, $$ y $$ \lVert \left( \mathbf{I} \color{red}{-} \mathbf{A} \right)^{-1} \rVert \le \frac{1}{1-\lVert \mathbf{A}\rVert}. $$

La prueba por contradicción

Deje $\mathbf{I} - \mathbf{A}$ ser singular. $\exists$ un valor distinto de cero $x$ tal que $\left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)x = 0.$, Entonces tenemos $$ \lVert x \rVert = \lVert \mathbf{A} x \rVert $$ lo que implica $\lVert \mathbf{A} \rVert \ge 1.$ $\color{red}{\Rightarrow \Leftarrow}$

Derivación

Comience con la telescópica de identidad $$ \left( \sum_{k=0}^{N}\mathbf{A}^{k} \right) % \left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right) % = % \mathbf{I} - \mathbf{A}^{N+1} % $$ Conocer la propiedad de submultiplicative normas $\lVert \mathbf{A}^{k} \rVert \le \lVert \mathbf{A} \rVert^{k}$ y dado $\lVert \mathbf{A} \rVert < 1$ ver $\lim_{k\to\infty}\mathbf{A}^{k} = 0$. Esto implica $$ \left( \lim_{N\to \infty} \sum_{k=0}^{N}\mathbf{A}^{k} \right) % \left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right) % = % \mathbf{I}, % $$ y $$ \left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)^{-1} = \left( \lim_{N\to \infty} \sum_{k=0}^{N}\mathbf{A}^{k} \right). $$ En el pasado, $$ \lVert \left( \mathbf{I} - \mathbf{A} \right)^{-1} \rVert \le \sum_{k=0}^{\infty}\lVert \mathbf{A} \rVert^{k} = \frac{1}{1-\lVert \mathbf{A}\rVert} $$