El PDE $u_t = u_{xx}$ sigue el camino definido por $\dfrac{dx}{dt} = \pm \infty$

Question

Tengo el PDE $ut = u{xx}$ (ecuación del calor).

Entonces me dije que, al escribir la ecuación de $(\partial_x + (0)\partial_t)^2 u = u_t$, vemos que sus características seguiría la ruta definida en $\dfrac{dx}{dt} = \pm \infty$.

¿Me pregunto cómo llegaron a esta conclusión? Explique por favor. :)

Answer 1

Por un segundo orden de la PDE en dos variables$x$$t$, $$ un(x,t) u_{xx} + 2b(x,t) u_{xt} + c(x,t) u_{tt} + \dots = 0 , $$ es asociada a una forma cuadrática en cada punto de $(x,t)$, $$ Q(h,k) = a(x,t) h^2 + 2b(x,t) hk + c(x,t) k^2 , $$ y una característica de la curva es una curva cuyo vector normal $(h,k)$ satisface $Q(h,k)=0$ en cada punto de la curva.

Para la ecuación del calor simplemente hemos $$ Q(h,k)=h^2 $$ de modo que el vector normal debería ser $(h,k)=(0,1)$ en cada punto, lo que obliga a las características de las líneas de constante $t$.