Me encontré con este problema cuando trato de demostrar que por espacio de $H(\Omega):=H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$ donde $\Omega$ está abierto delimitado, con un bonito límite, entonces la norma $\|u\|_1:=\|\Delta u\|_{L^2}$ es equivalente a la norma $\|u\|_{H^2}$ en el sentido usual de la palabra.
Este problema puede ser demostrado por el uso abierto de asignación y teorema muestra que $\|u\|_1$ es en realidad hacer $H$ como un espacio de Banach.
Sin embargo, yo estaba pensando utilizando el hecho de que la norma $\|u\|_2:=\|u\|_{L^2}+\|D^2u\|_{L^2}$ ya es un equivalente de la norma de $\|u\|_{H^2}$ y el plazo $\|u\|_{L^2}$ va a ser atendido por Poincaré. Entonces sólo es necesario demostrar que la $\|D^2u\|_{L^2(\Omega)}\leq C\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)}$ para algunas constantes $C$.
Me acordé de cuando me ocupo de la solución débil de Biharmonic funciones, he demostrado que $$ \int_\Omega \partial_i\partial_j u\cdot \partial_i\partial_j u\,dx=\int_\Omega \partial_i\partial_i u\cdot \partial_j\partial_j u\,dx \tag 1$$ mediante el uso de la densidad de argumento.
Así que aquí me iba a usar el mismo enfoque. Pero no puedo ver lo que la función es denso en $H$ bajo $H^2$ norma. No creo $C_c^\infty(\Omega)$ va a trabajar aquí porque nos dará $H_0^2$ pero no $H$. Pero no podemos utilizar el $C^\infty(\bar \Omega)$ ni porque perderemos $H_0^1$. Así que, ¿qué función debería utilizar como aproximado de la función aquí?
es decir, ¿puedo utilizar alguna función suave aprox $u\in H$ bajo $H^2$ norma?
Actualización
Esta pregunta ha sido resuelto, pero quiero actualizar a los que podemos generalizar esto a $H^{2k}(\Omega)\cap H_0^k(\Omega)$. Es decir, el espacio de $H^{2k}(\Omega)\cap H_0^k(\Omega)$ equivalente a la norma $\| \Delta^k u\|_{L^2(\Omega)}$ y puede ser demostrado mediante la regularidad de la ecuación de Laplace. (El equivalente a $H^2\cap H_0^1$ puede ser demostrado por la regularidad en sólo DOS pasos!)
