¿Cómo se demuestra que $\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\mathrm dx=\frac{\pi}{4}$?

Question

¿Cómo se puede demostrar que para todo real $m$, $$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\mathrm dx=\frac{\pi}{4}$$

He dejado que $y=\frac{\pi}{2}-x$ y obtuve

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\mathrm dx= \int_\frac{\pi}{2}^0\frac{\cos^my}{\cos^my+\sin^my}\mathrm dy = \int_\frac{\pi}{2}^0\frac{\cos^mx}{\cos^mx+\sin^mx}\mathrm dx$$

Esto es todo lo que alcancé. Sé que se supone que debes sumar los 2 resultados, pero los límites de integración no son los mismos. Sumando ambos obtengo,

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^mx-\cos^mx}{\sin^mx+\cos^mx}\mathrm dx$$ que no se simplifica en absoluto.

Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Su sustitución está bastante cerca de la que se necesita. Considere $\frac{\pi}{2}-x=y\rightarrow dx=-dy\,$. Los nuevos límites son $y_1=\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2} \,$y $y_2=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0$ $$I=\int^0_\frac{\pi}{2}\frac{\cos^my}{\cos^my+\sin^my}\mathrm (-dy)=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos^my}{\cos^my+\sin^my}\mathrm dy$$ Agregue esto con la integral inicial para obtener: $$2I=\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\sin^mx+\cos^{m}x}{\sin^mx+\cos^mx}\mathrm dx\rightarrow I=\frac12\int_0^\frac{\pi}{2}dx=\frac{\pi}{4}$$