Tengo la siguiente ecuación diferencial: $$y''+y=\cos(t)\cos(2t)$ $
Tal vez algo se puede hacer para $\cos(t)\cos(2t)$ para que sea más fácil de resolver. ¿Alguna idea?
Gracias de antemano.
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user3035
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No hay una forma general de hacer estas cosas. Resolver la ecuación homogénea $y'' + y = 0$, dando $C_1\cos(t) + C_2\sin(t)$ para las constantes $C_1$$C_2$, a continuación, añadir a una solución única $y_p(t)$ a de la ecuación no homogénea $y'' + y = \cos(t)\cos(2t) = {1 \over 2}\cos(3t) + {1 \over 2}\cos(t)$. El resultado será la solución general de su ecuación diferencial.
Para encontrar $y_p(t)$, intenta $y_p(t) = a_1\cos(3t) + a_2\sin(3t) + b_1t\cos(t) + b_2t\sin(t)$. Usted tiene que conectarlo y resolver para$a_1,a_2,b_1,$$b_2$. Normalmente sólo intenta combinaciones de $\cos(3t), \sin(3t), \cos(t),$$\sin(t)$, pero desde los dos últimos resolver la ecuación homogénea que usted tiene que pegarse un $t$ frente. Voy a confiar Theo Buehler es correcto y que $a_1 = -{1 \over 16}$, $b_2 = {1 \over 4}$ y $a_2 = b_1 = 0$. Por lo tanto su solución general será $$y(t) = C_1\cos(t) + C_2\sin(t) -{1 \over 16}\cos(3t) + {1 \over 4}t\sin(t)$$ (El ${5 \over 16}\cos(t)$ plazo se absorbe en la solución a la ecuación homogénea).
Grzenio
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16802
No veo una solución elegante (y no puedo ver cómo Arturo comentario de ayuda de inmediato), pero se puede hacer por fuerza bruta utilizando el método de variación de parámetros.
La homogeneidad de las ecuaciones diferenciales $y''(t) + y(t) = 0$ tiene dos soluciones fundamentales $y_{1}(t) = \sin{(t)}$$y_{2}(t) = \cos(t)$.
Debemos resolver \[ \begin{pmatrix} 0 \\ \cos(t)\cos(2t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}^{\prime} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin{t} & \cos{t} \\ -\cos{t} & \sin{t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix} \] para $u_{1}$ $u_{2}$ y encontrar $U_{1}$ $U_{2}$ tal que $U_{1}^{\prime} = u_{1}$$U_{2}^{\prime} = u_{2}$.
Una solución particular a continuación se da por \[y_{0}(t) = U_{1} y_{1} + U_{2}y_{2}\qquad\text{y} \qquad y=y_{0} + c_{1} y_{1} + c_{2}y_{2}\] será la solución general.
Debido a que la matriz $A(t) = \begin{pmatrix} \sin{t} & \cos{t} \\\ -\cos{t} & \sin{t} \end{pmatrix}$ es ortogonal, su inversa es su transpuesta, por lo que \[ \begin{pmatrix} u_{1} \\ u_{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sin{t} & -\cos{t} \\ \cos{t} & \sin{t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ \cos(t)\cos(2t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos^2(t)\cos(2t) \\ \sin(t)\cos(t)\cos(2t) \end{pmatrix} \] Tenga en cuenta que $u_{2}(t) = \sin(t)\cos(t)\cos(2t) = \frac{1}{2}\sin{(2t)}\cos{(2t)} = \frac{1}{4}\sin{(4t)}$, así que podemos tomar
\[U_{2}(t) = -\frac{1}{16}\cos{(4t)}.\]
Por otro lado, el uso de Arturo comentario tres veces, obtenemos \begin{align*} u_{1}(t) & = \cos^2(t)\cos(2t) = \cos(t)\frac{1}{2}(\cos(3t)+\cos(t)) \\ & = \frac{1}{2} \cos{(t)}\cos(3t) + \frac{1}{2} \cos(t)\cos(t) = \frac{1}{4} (\cos{(4t)} + \cos{(2t)}) + \frac{1}{4}(\cos{(2t)} + 1) \\ & = \frac{1}{4}\cos{(4t)} + \frac{1}{2} \cos{(2t)} + \frac{1}{4}. \end{align*} La integración de este da
\[U_{1}(t) = \frac{1}{16} \sen(4t) + \frac{1}{4}\sin{(2t)} + \frac{1}{4}t.\]
Ahora podemos simplificar la solución particular
\begin{align*} y_{0} = U_{1} y_{1} + U_{2}y_{2} = \cdots = \frac{1}{4}t \sin(t) - \frac{1}{16} \cos(3t) + \frac{5}{16}\cos(t) \end{align*}
el uso de algunas identidades trigonométricas (realmente estoy cansando de esto, lo siento).
Usted debe, al menos, compruebe usted mismo que $y_{0}^{\prime\prime} + y_{0} = \frac{1}{2}(\cos(t) + \cos(3t)) = \cos(t)\cos{(2t)}$ por Arturo comentario de nuevo.
Por lo tanto, la solución general es \[ y(t) = y_{0} + c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} = \frac{1}{4}t \sin(t) - \frac{1}{16} \cos(3t) + \frac{5}{16}\cos(t) + c_{1}\sin{(t)} + c_{2} \cos(t) \] para algunos de los verdaderos constantes $c_{1}$$c_{2}$.
