que hay un elemento de $\mathbb{Z}[\beta]$ es en la bola de la unidad de cada número complejo

Question

Que $\beta=\frac{1+i\sqrt{3}}{2}$ y que $\mathbb{Z}[\beta]={a+b\beta:a,b\in\mathbb{Z}}$. Estoy tratando de mostrar que cada $x\in \mathbb{C}$ allí existe un $y\in\mathbb{Z}[\beta]$ tal que $\lvert x-y \rvert

Lo intenté pensar en $\mathbb{Z} [\beta]$ como un enrejado en el plano complejo y tratado de demostrar que cada rectángulo las diagonales con longitud menor o igual a 2 pero no podía calcular exactamente cómo puedo pensar en $\mathbb{Z} [\beta]$ como un enrejado. Tal vez se acercaría una diferente manera. Agradeceria cualquier ayuda.

Answer 1

Llame a su número complejo $z$, escriba $z=r+si\sqrt{3}$, $r$, $s$ real. Toma el número entero más cercano a $2s$, $b$ decir. Considerar $z-b (1 + i\sqrt3) / 2 = r '+ s' i\sqrt 3$. Then $|s'|\le 1/4$. Pick the nearest integer to $r'$, $a$ say. Define $\gamma=a+b\beta$. Show that $|z-\gamma|^2\le (1/2) ^ 2 +3 (1/4) ^ 2$, etcetera.

Answer 2

Una demostración basada en $E \upsilon \kappa \lambda \iota \delta \eta \varsigma$:

Considerar si usted va a los puntos de

$A = 0, \; B = 1,\; C = 1 + \beta,\; D = \beta \in \Bbb C; \tag 1$

ellos forman un cuadrilátero--un rombo, en realidad, $ABCD$ en el plano complejo. Tomamos nota de que $\beta = \frac{1}{2}(1 + i \sqrt 3)$ implica que

$\angle BAD = \dfrac{\pi}{3}, \tag 2$

y sigue de la ley de los cosenos que diagonal $BD$ $ABCD$ tiene la longitud dada por

$\vert BD \vert^2 = \vert AB \vert^2 + \vert AD \vert^2 - 2\vert AB \vert \vert AD \vert \cos \dfrac{\pi}{3} = 1 + 1 - 2 (\dfrac{1}{2}) = 2 - 1 = 1; \tag 3$

así

$\vert BD \vert = 1; \tag 4$

asimismo, a partir de

$\angle ABC = \dfrac{2\pi}{3}, \tag 5$

tenemos

$\vert AC \vert^2 = \vert AB \vert^2 + \vert BC \vert^2 - 2\vert AB \vert \vert BC \vert \cos \dfrac{2\pi}{3} = 1 + 1 - 2(-\dfrac{1}{2}) = 3, \tag 6$

de dónde

$\vert AC \vert = \sqrt 3. \tag 7$

Ahora vamos a $\bigodot A$ ser la circunferencia de radio $1$ centrada en $A$ y deje $\bigodot C$ ser la de radio $1$ centrada en $C$; ya que cada uno de estos círculos de radio de la unidad, $\bigodot A$ $\bigodot C$ se cruzan precisamente en puntos de $B$$D$, y desde $\vert AC \vert = \sqrt 3 < 2$, cada punto de $ABCD$ o en su interior, se encuentra en el interior de uno de estos dos círculos, guardar puntos de $B$$D$, que se encuentran en los círculos de los mismos. Por lo tanto, si incluimos $\bigodot B$$\bigodot D$, cada uno de radio $1$, cada punto en el rombo $ABCD$ se encuentra en el interior de uno de los círculos $\bigodot A$, $\bigodot B$, $\bigodot C$, $\bigodot D$. Pero esto es equivalente a decir que cada punto de $X$ o en $ABCD$ satisface $\vert XY \vert < 1$ algunos $Y \in \{ A, B, C, D \}$, que la instrucción es equivalente a $\vert x - y \vert < 1$ $x \in \Bbb C$ o en $ABCD$ y algunos $y \in \{ 0, 1,\beta, 1 + \beta \} \subset \Bbb C$. Traducir el rombo $ABCD$ y $\bigodot A$, $\bigodot B$, $\bigodot C$, y $\bigodot D$ $m + n \beta$ $m, n \in \Bbb Z$ cubre todo el plano complejo congruentes con rombos y círculos idénticos, y de este modo, el resultado de la siguiente manera.