Demostrar que .

Question

Pruebalo $\lim_{x\to \infty}\left(x-\ln\cosh x\right)=\ln 2$

Usé la regla del hospital L, pero no se simplifica. Luego expandí$\cosh x$ usando la serie McLaurin pero debido a$x\to \infty$, esto tampoco funciona. ¿Cómo debo evaluar este límite?

Answer 1

$$\lim_{x\to\infty}e^{x-\ln\cosh x}$$$ $=\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{\cosh x}$ $$$=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2e^x}{e^x+e^{-x}}$$$ $=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{1+e^{-2x}}$ $$$=2$ $

Por lo tanto,$\lim_{x\to\infty}(x-\ln\cosh x)=\ln 2$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x-\ln\cosh x=\ln e^x-\ln(e^x+e^{-x})+\ln2=\ln2-\ln(1+e^{-2x})$. Ahora que $x\to\infty$.

Answer 3

$x\rightarrow \infty$, $\cosh(x)\sim \frac{e^{x}}{2}$, Por lo tanto:

\sim x-\log(2) $$\log(\cosh(x))$$ y \lim_{x\rightarrow\infty}[x-\log(\cosh(x))]=\log(2)

QED

Answer 4

Que $y=x-\ln \cosh(x)$. Considerar el $e^y$. Tenemos $$\begin{align} \lim{x\to \infty} e^y&= \lim{x\to \infty} \frac{e^x}{e^{\ln \cosh(x)}}\ &= \lim{x\to \infty} \frac{e^x}{\cosh(x)}\ &= \lim{x\to \infty} \frac{2e^x}{e^x + e^{-x}}\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{2}{1 + e^{-2x}}\ &= 2. \end{align} $$

Tomando el logaritmo natural, conseguimos lo que queremos.

Answer 5

Intentar escribir $$x = log (e^x)$ $ y entonces:$$ x-log(coshx) = log(e^x) - log (\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}) = -log(\dfrac{1+e^{-2x}}{2})