Cómo mostrar que un anillo es normal o no, y cómo mostrar la normalización del anillo

Question

Estoy confundido sobre cómo mostrar si un anillo es normal o no. Por ejemplo, considere el $k$ -Álgebra $k[x,y] /\langle x^2 - y^3 \rangle$ que es un dominio. ¿Cómo puedo demostrar que no es normal? ¿Existe alguna técnica estándar? Sé que quiero demostrar que no es integralmente cerrado en su campo de fracciones, pero no consigo averiguar cómo hacerlo, es decir, encontrar alguna $z$ en el campo de la fracción, integral sobre el anillo pero no está en el anillo.

¿Cómo puedo saber cuál es la normalización? Lo siento, no tengo ningún trabajo que ofrecer porque estoy completamente perplejo.

Answer 1

Como explicó wxu en un comentario, $x/y$ es integral sobre su anillo, que por lo tanto no puede ser normal. Para calcular la normalización, observe que el mapa $x \mapsto t^2$ , $y \mapsto t^3$ envía su álgebra isomórficamente a $k[t^2,t^3] = k \oplus (t^2) \subset k[t]$ . Esta subálgebra tiene codimensión uno, por lo que $k[t]$ es su normalización.

Si sabes algo de geometría algebraica, ésta es el álgebra de las funciones polinómicas sobre la curva cúbica cuspidal $X = \{ (x,y) \in \mathbb{A}^2 \ | \ y^2 = x^3 \}$ , en la foto aquí . Una curva es no singular si y sólo si su álgebra de funciones es normal, y es geométricamente obvio que esta curva es singular en el origen. El mapa de normalización corresponde a la parametrización $\mathbb{A}^1 \to X$ dado por $t \mapsto (t^2,t^3)$ .

Answer 2

Hay una manera fácil de saber dónde está el anillo $k[x,y] / f(x,y)$ no es regular: está precisamente en el ideal $$ \langle f(x,y), \partial_x f(x,y), \partial_y f(x,y) \rangle$$ Esto sigue siendo cierto en más variables y más ecuaciones -- tomar todas las primeras derivadas de todas las ecuaciones. La interpretación geométrica es que este ideal describe el conjunto singular de su sistema de ecuaciones.

Como su anillo es unidimensional, ser no regular es sinónimo de no normal.

Aplicando la prueba y asumiendo que no estamos en la característica 2 o 3, obtenemos el ideal $$ \langle x^2 - y^3, 2x, 3y^2 \rangle = \langle x, y^2 \rangle$$ por lo que el anillo no es normal. La normalización implicará fracciones contiguas $u/v$ de las cosas en este ideal. Por desgracia, no he pasado por este procedimiento con la suficiente frecuencia como para poder hacerlo de forma sistemática, así que no puedo ofrecer consejos al respecto.