Este es el entorno de mi problema: tengo un sistema lineal de 4 ecuaciones en 8 incógnitas (es decir $Ax = b$ , donde $A$ es $4 \times 8$ , $x$ es $8 \times 1$ y $b$ es $4 \times 1$ con $A$ dado y $b$ que varían con algunos parámetros exógenos, es decir, esencialmente dados). Así, tras reducir el sistema, el espacio de soluciones puede describirse mediante una función lineal $f \, : \, \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4$ que puedo encontrar explícitamente.
Debido a la naturaleza del problema, sólo me interesan los valores no negativos para cada una de las 8 incógnitas. Por lo tanto, puedo restringir la función $f$ al dominio $\mathbb{R}^4_{\geq 0}$ (es decir, examinar sólo los valores no negativos para cada una de las 4 variables libres). Lo que me interesa saber (y clasificar para diferentes valores de los parámetros, que cambiarán $b$ ) es si existen soluciones para las que las 8 incógnitas son no negativas -o, equivalentemente, si la función $f$ toma valores no negativos en el dominio no negativo $\mathbb{R}^4_{\geq 0}$ .
Si hay una manera de resolver esto analíticamente, sería genial; alternativamente, si hay una buena manera de hacer esto numéricamente (uso MATLAB), eso sería sólo un poco menos grande. Gracias de antemano.
Muchas gracias a todos por vuestras respuestas, ha sido de gran ayuda. Elaborar la solución a mano utilizando el documento de LL Dines puede resultar demasiado engorroso, ya que requiere conocer el signo de los coeficientes, y examinamos miles de conjuntos diferentes de coeficientes (ya que variamos varios parámetros); sin embargo, aunque sólo sea por eso, es muy agradable saber que hay es un algoritmo para determinar (analíticamente) la existencia de soluciones no negativas. Además, todos los consejos sobre el software que se han dado han sido muy útiles. He estudiado todas vuestras sugerencias y, por ahora, creo que intentaremos utilizar lsqnonneg. Gracias de nuevo por vuestra ayuda.
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Tenga en cuenta que si $A$ es 4x8 y x es 8x1, entonces el dominio de $f$ es $\mathbb{R}^8$ no $\mathbb{R}^4$
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Gracias por la respuesta. Ciertamente la función que describe el sistema lineal tiene dominio $\mathbb{R}^8$ pero la función que describe el espacio de la solución (es decir, la función $f$ que mapea cualquier elección del $4$ variables libres a la única tupla del $4$ variables principales que dan una solución al sistema) tienen dominio $\mathbb{R}^4$ ?
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Ah, ya veo lo que dices....después de haber elegido algunos valores fijos para las variables libres, entonces hay una función de las variables básicas restantes $f: \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 $ . Gracias.
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Sí, exactamente. ¡Hazme saber si tienes alguna idea!