Medida de Lebesgue del producto cartesiano

Question

Si $E$ es medible por Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ y $I=[a,b]$ ¿Cómo puedo demostrar que $E\times I$ es medible en $\mathbb{R}^{n+1}$ ?

Jonas:

Estoy usando $\mu^*(E)=\inf \{ \sum \mathrm{Vol}(I_k) \mid E\subseteq \cup I_k\}$ y para cada $\epsilon \gt 0$ existe un conjunto abierto $G$ que contiene $E$ tal que $\mu^*(G-E)\lt\epsilon$ ( $\mu^*$ es la medida exterior).

He intentado utilizar la primera definición ya que creo que sería más fácil, pero no sé cómo hacer que encaje.

Answer 1

Un criterio equivalente para la mensurabilidad de un conjunto $E$ es la existencia de un $G_\delta$ set $G$ que contiene $E$ tal que $\mu^*(G\setminus E)=0$ . (Si aún no lo has visto, puedes probarlo.) Puedes usar esto junto con el hecho de que $(G_1\times G_2)\setminus(E_1\times E_2)=((G_1\setminus E_1)\times G_2)\cup(G_1\times(G_2\setminus E_2))$ para demostrar que si $E_1$ es medible en $\mathbb{R^n}$ y $E_2$ es medible en $\mathbb{R^m}$ entonces $E_1\times E_2$ es medible en $\mathbb{R^{n+m}}$ .