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Medida de Lebesgue del producto cartesiano

Si E es medible por Lebesgue en Rn y I=[a,b] ¿Cómo puedo demostrar que E×I es medible en Rn+1 ?

Jonas:

Estoy usando μ(E)=inf y para cada \epsilon \gt 0 existe un conjunto abierto G que contiene E tal que \mu^*(G-E)\lt\epsilon ( \mu^* es la medida exterior).

He intentado utilizar la primera definición ya que creo que sería más fácil, pero no sé cómo hacer que encaje.

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tooshel Puntos 475

Un criterio equivalente para la mensurabilidad de un conjunto E es la existencia de un G_\delta set G que contiene E tal que \mu^*(G\setminus E)=0 . (Si aún no lo has visto, puedes probarlo.) Puedes usar esto junto con el hecho de que (G_1\times G_2)\setminus(E_1\times E_2)=((G_1\setminus E_1)\times G_2)\cup(G_1\times(G_2\setminus E_2)) para demostrar que si E_1 es medible en \mathbb{R^n} y E_2 es medible en \mathbb{R^m} entonces E_1\times E_2 es medible en \mathbb{R^{n+m}} .

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