Encontrar fallas en prueba

Question

Este es uno de los problema que he estado trabajando en Velleman s How to prove libro:

Incorrecto Teorema. Supongamos que F y G son familias de conjuntos. Si ∪F y ∪G son disjuntos, entonces F y G. (a) ¿Cuál es el problema con el siguiente prueba del teorema?

Prueba. Supongamos ∪F y ∪G son disjuntas. Supongamos que F y G no son discontinuo. A continuación, podemos elegir un conjunto tal que A ∈ F y A ∈ G. Dado A ∈ F, por el ejercicio 8, Una ⊆ ∪F, por lo que cada elemento de a está en el ∪F. Del mismo modo, puesto que A ∈ G, cada elemento de a está en el ∪G. Pero entonces todos los elemento de a está en ambos ∪F y ∪G, y esto es imposible ya ∪F y ∪G son disjuntas. Por lo tanto, hemos llegado a una contradicción, por lo que F y G deben ser disjuntas.

Aunque, he encontrado un contraejemplo para la prueba ($F = \{\{1\},\emptyset\}$ and $G=\{\{2\}, \emptyset\}$), yo no soy capaz de encontrar cualquier falla con esta prueba (que parece tan convincente). Puede que nadie me señale a qué me estoy perdiendo?

Answer 1

Una buena estrategia es correr a través de la prueba con su ejemplo de lucha contra. El problema es que aunque también es verdad $A = \emptyset$ que todos los elementos de $A$ $\cup F$ y $\cup G$ esto no contradice la afirmación de que los conjuntos son disjuntos. Sólo si hay un elemento en $A$, hay una contradicción.

Tenga en cuenta que esto también demuestra la el único conjunto que puede ser común a ambas $F$ y $G$ es el conjunto vacío.

Answer 2

El contraejemplo revela una errónea suposición implícita en la prueba. La contradicción de la prueba usa es basado en el hecho de que el $A\subseteq\cup F$ y $A\subseteq\cup G$. Afirma, en base a esto, que $\cup F$ y $\cup G$ no son disjuntos. Sin embargo, si $A=\emptyset$, entonces el $A\subseteq S$ para cualquier ajuste $S$.