Suma de un elemento nilpotente y un divisor cero en un anillo conmutativo $A$ .

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo con identidad. ¿Es siempre cierto que la suma de un elemento nilpotente y un divisor cero es un divisor cero? Intenté construir un contraejemplo pero encontré que era cierto en el anillo $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ . ¿Puede alguien dar un ejemplo concreto de este problema?

Algunos de mis intentos: Para un elemento nilpotente $x$ y un divisor cero $z$ la suma $x+z$ satisface $z'(x+z)=z'x$ para algunos $z' \neq 0$ y como $x$ es nilpotente $z'^n(x+z)^n = 0$ para algunos $n$ . Pensé que podíamos encontrar un anillo $A$ y algunos $n$ , $z$ donde $z'^n(x+z)^{n-1}$ se convierte en $0$ pero no significa que no haya otros elementos no nulos que aniquilen $x+z$ .

Answer 1

Supongamos que $zw = 0$ con $w \ne 0$ pero $x+z$ no es un divisor de cero. Entonces $xw = (x+z)w \ne 0$ , $x^2 w = (x+z) xw \ne 0$ y por inducción $x^n w \ne 0$ para todos los enteros positivos $n$ , lo que implica $x^n \ne 0$ y $x$ no es nilpotente.