Resolver

Question

La ecuación es <span class="math-container">$$\sqrt{\frac{4-x}x}+\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}=2-\sqrt{x^2-12}$ $</span>

Intenté escuadrado izquierda y derecha y luego llevándolos a mismo numerador pero no se perdió a partir de ahí... ¿alguna idea de cómo debe ser resuelto?

Tengo que:

<span class="math-container">$$2\cdot\sqrt{-\frac{(x-4)^2}{x^2+x}}+4\cdot\sqrt{x^2-12}=x^2-8-\frac{4-x}{x^2+x}$$</span>

Answer 1

Lado izquierdo existen sólo iff <span class="math-container">$${\frac{4-x}x}\geq 0\iff x\in (0,4]$</span> y <span class="math-container">$${\frac{x-4}{x+1}}\geq 0\iff x\in (-\infty,-1)\cup [4,\infty)$ $</span>

Por lo que el valor sólo legítimo para el lado izquierdo es <span class="math-container">$4$</span> que funciona.

Answer 2

Puesto que hay tres raíces cuadradas deberá plaza de la ecuación general al menos tres veces. Esta no es la mejor manera ya que produce falsas soluciones cada vez y también la complejidad de la ecuación aumentará cada vez.
Por lo tanto, observar el numerador dentro de la raíz cuadrada de la PREPA y la raíz cuadrada de la derecha

$$\sqrt{\frac{4-x}x}+\sqrt{\frac{x-4}{x+1}}=2-\sqrt{x^2-12}$$

Tenga en cuenta que para $x=4$ LHS será cero, por lo tanto ambos numeradores se convierte en cero el denominador será definido. Así, obtenemos

$$0=2-\sqrt{4^2-12}\Rightarrow 0=2-\sqrt{16-12}\Rightarrow 0=0$$

Y, por tanto, $x_1=4$ es una solución. También es la única solución real (de acuerdo a WolframAlpha). Los otros dos están dadas por $x_{2/3}= -0.889727 \pm 0.079797 i$ pero sinceramente creo que sólo se puede conseguir mediante cuadrar una y otra vez, eliminando las falsas soluciones al final.

Answer 3

Una vez que se identifican $x=4$ como una solución real a través de una inspección (mrtaurho la respuesta), verá que es la única solución real. Para todos los otros $x$, el lado izquierdo no es real. Comprobar los signos de la radicands en el lado izquierdo para el resto de posibles casos $x>4, 0<x<4, -1<x<0, x<-1$.

Hay otra posibilidad de una solución real. Si uno de los radicands de la izquierda es positivo y el otro negativo, se puede por separado tratar de encajar los dos términos en el lado izquierdo para las partes real e imaginaria de la derecha. Pero antes de invertir en pesados cálculos observar que si $-\sqrt{x^2-12}$ es imaginario, (de acuerdo a la costumbre principales definiciones de valor) es un número negativo veces $i$, y cualquier imaginarios radicales de la izquierda podría ser un número positivo veces $i$. Usted no puede coincidir con el de los signos por medio de este método.

Así que el único lugar para buscar una solución real es de $x=4$.