Mostrar que un mapa específico es una sumersión de$O(3)$ en$S^2$

Question

Denotando los componentes de la $3\times3$ matriz $A \in O(3)$ como $a_{ij}$, muestran que

$$ F: O(3) \rightarrow S^2, a_{ij} \mapsto a_{1j} $$

es una inmersión. (El mapa está bien definido, ya que para $A \in O(3)$ es cierto que $a_{11}^2 + a_{12}^2 + a_{13}^2 = 1$.)

Por lo que entiendo, para mostrar que el mapa es una inmersión, tengo que muestran que el diferencial mapa

$$ dF: T_AO(3) \rightarrow T_{F(A)}S^2 $$

es para todos los $A \in O(3)$.

Ahora, si yo fuera dado un vector tangente $X\in T_AO(3)$ entonces por lo que entiendo el mapa simplemente es $dF: x_{ij} \mapsto x_{1j}$, donde $x_{ij}$ denotar los componentes de $X$. Sin embargo, no veo que este es surjective en cada punto de $A\in O(3)$.

De hecho en la identidad de $A = I$ sé que una base de vectores tangente está dada por el antisimétrica matrices con un número distinto de cero en la parte superior triangular de la parte y que, a continuación, el mapa es algo como $X \mapsto (0, s, t)$ y podría decirse que dos parámetros son suficientes para abarcar el espacio de la tangente de $S^2$.

No puedo ver cómo esto es cierto para la tangente vectores $X$ a un punto arbitrario $A$ con el vector está dada por

$$ X = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} \gamma(t)$$

donde $\gamma: \mathbb{R} \rightarrow O(3)$ con $\gamma(0) = A$.

Answer 1

Sugerencia de Corrección $A \in O(n)$, y observe que podemos escribir $F$ as (la restricción a $O(3)$ ) de la lineal mapa de $A \mapsto e_1 A$, donde $(e_1, e_2, e_3)$ es el estándar de base ortonormales en $\Bbb R^3$ e donde podemos ver el $e_i$ como vectores fila. Por linealidad, podemos identificar a $dF_A$ (con la restricción de a $T_A O(n)$ ) $B \mapsto e_1 B$.

Ahora, desde la $A$ es ortogonal, $$T_{F(A)} S^2 = \{F(A)\}^{\perp} = \{e_1 A\}^{\perp} = \operatorname{span}\{e_2 A , e_3 A\} ,$$ so it suffices to find elements in $T_A O(n)$ that $dF_A$ maps to $e_2 Una, e_3 UN$. Since $T_I O(n)$ consta de sesgar-matrices simétricas, derecha-invariancia da que $$T_A O(n) = (dR_A)_I \cdot T_I O(n) = \{X A : X^{\top} = -X\} .$$ (Aquí, $R_A$ es el derecho a la multiplicación de mapa de $C \mapsto CA$.)

Sugerencia adicional, por Lo tanto, sólo tenemos que encontrar a sesgar-matrices simétricas $X_2, X_3$ cuyas primeras filas son, respectivamente, $e_2, e_3$, por lo que $$dF_A(X_i A) = e_1 X_i A = e_i A, \qquad i = 2, 3 .$$ We can just take $$X_2 = \pmatrix{\cdot&1&\cdot\\-1&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&\cdot}, \qquad X_3 = \pmatrix{\cdot&\cdot&1\\ \cdot&\cdot&\cdot\\ -1&\cdot&\cdot} .$$ We can also see immediately that $$\ker dF_A = \operatorname{span}\left\{\pmatrix{\cdot&\cdot&\cdot\\ \cdot&\cdot&1\\ \cdot&-1&\cdot} A\right\} .$$

Answer 2

Usted puede ver $O(3)\subset S^2\times S^2\times S^2\subset \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$ como el conjunto ordenado de ortonormales base de $\mathbb{R}^3$, una matriz de $A$ ser interpretado como tres alineados vectores $\pi_1(A),\pi_2(A)$ e $\pi_3(A)$, donde $\pi_i:\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ es la proyección sobre la $i$-ésimo factor. De manera que su mapa $F$ es la restricción $\pi_1|_{O(3)}$.

Un (suave) camino de $\gamma:\mathbb{R}\to S^2$ se fija, con $\gamma=F(A)=\pi_1(A)$ para $A\in O(3)$, te gustaría encontrar un camino de $\Gamma=(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3):\mathbb{R}\to O(3)$ tal que $\Gamma(0)=A$ e $\pi_1\circ\Gamma=\gamma$, es decir, $\gamma_1=\gamma$. Así que tu pregunta se reformula como: siempre es posible completar una ruta de acceso de vectores de norma $1$ en un camino de ortonormales base? La respuesta es sí, por Gram–Schmidt proceso.

Más formalmente, arreglar un camino de $\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S^2$ tal que $\gamma(0)=F(A)=\pi_1(A)$ e $\gamma'(0)=E$ para algunos $A\in O(3)$ y un arbitrario $E\in T_{F(A)}S^2$. Vamos a completar en un camino $$\Gamma=(\gamma,\gamma_2,\gamma_3):(-\varepsilon,\varepsilon)\to S^2\times \mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3$$ tal que forall $t\in(-\varepsilon,\varepsilon),\Gamma(t)=(\gamma(t),\gamma_2(t),\gamma_2(t))$ es una base ortonormales de $\mathbb{R}^3$:

• Elegimos $\gamma_2(t)\equiv \pi_2(A)$ e $\gamma_3(t)\equiv \pi_3(A)$ (tenga en cuenta que $\Gamma(0)=(\gamma(0),\gamma_2(0),\gamma_3(0))=(\pi_1(A),\pi_2(A),\pi_3(A))=A\in O(3)$ es una base ortonormales de $\mathbb{R}^3$).

• Por la continuidad de la determinante, $(\gamma(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$ es todavía una base de $\mathbb{R}^3$ para $t$ lo suficientemente pequeño: restringir el intervalo de tiempo en el fin de mantener esta verdad en todo ello.

• A continuación, se aplican las bacterias Gram–Schmidt proceso en $(\gamma(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))$ para todos los $t$: hojas de $\gamma(t)$ igual a sí mismo puesto que ya es una norma $1$ vector, y también a$\gamma_2(0)$ e $\gamma_3(0)$ ya que se forma una base ortonormales con $\gamma(0)$. Sin problemas los cambios de $\gamma_2(t)$ e $\gamma_3(t)$ en ortonormales de vectores: aún denotar $\Gamma=(\gamma,\gamma_2,\gamma_3):(-\varepsilon,\varepsilon)\to O(3)$ la modificación de la ruta.

Por último: nota $\Gamma'(0)=E'\in T_AO(3)$. A continuación, $F\circ \Gamma=\pi_1|_{O(3)}\circ(\gamma,\gamma_2,\gamma_3)=\gamma$, y así $$dF_A(E')=dF_A(\Gamma'(0))=(F\circ\Gamma)'(0)=\gamma'(0)=E,$$ por lo $F$ es una inmersión.