Encontrar posibles p ' s para la medida firmada

Question

Soy nuevo aquí en StackExchange y espero que algunos de ustedes me puede ayudar con un problema que estoy tratando.

Estamos considerando una firma de medida $\nu$ a $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$, el cual es dado por $\nu(\{k\}):= k^p (-1)^k$ con $k \in \mathbb{N}$.

Ahora tengo que averiguar, que los valores de $p \in \mathbb{R}$ son posibles?

Yo sé, que firmó medidas de satisfacer $\nu( \emptyset ) = 0$. Debido a que no es dado, lo que sucede con vacío conjuntos, me gustaría asociar esto con la inserción de cero para k (suponiendo, que $0 \notin \mathbb{N}$ ). Así que esto no me da información adicional para determinar posibles $p$'s

Además para contables $I$ y un conjunto de pares discontinuo $A_i$'s tiene $\nu(\bigcup_{i\in I}A_i) = \sum_{i \in I} \nu(A_i)$.

Supongo que esta es una información, que puede ser utilizado para determinar los posibles $p$'s. Pero mi problema es que yo no sé realmente, cómo utilizar este, debido a que no hay una definición real, lo que pasa es que si pongo algo diferente a lo que los embarazos únicos en $\nu$. Hay algo, que me han supervisado, o es que hay algo que falta en la indicación? O es que hay una razón, ¿por qué podemos afirmar, que $\nu(\{k,m\}):= (k+m)^p (-1)^{k+m} = \nu(\{k+m\})$ ?

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

[Nota: Mi definición de una firma de medida requiere que la medida de cada medibles conjunto es finito. Esto es para evitar cosas como $\infty - \infty$.]

Hay una mancha de la manera de escribir de una solución a este problema si usted está preparado para citar el Radon-Nikodym teorema. Deje $\nu$ ser firmado medida en $\mathbb N$. La aplicación de Radon-Nikodym con $\mu$ siendo el estándar de contar medida en $\mathbb N$ (que sin duda es $\sigma$-finito), aprendemos que no debemos existe una función de $h : \mathbb N \to \mathbb R$ en $L^1(\mu)$ tal que $ \nu (A) = \int_A h \ d \mu $ para todos los $A \subset \mathbb N$. (No hay ninguna aportación singular, porque la única medida que es singular con respecto a $\mu$ es el cero de la medida.) Por el contrario, para cualquier real $h \in L^1(\mu)$, la expresión $\nu (A) = \int_A h \ d \mu$ define una firma de medida $\nu$ a $\mathbb N$.

En su problema, dado que $\nu (\{ n \}) = n^p (-1)^n $ para todos los $n \in \mathbb N$. Esto inmediatamente le dice que $h(n) = n^p (-1)^n.$ La $h \in L^1 (\mu)$ condición dice que $\sum_{n=1}^\infty n^p < \infty,$ y esto es iff $p < -1.$

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Si usted no está permitido el uso de Radon-Nikodym teorema, todavía debe ser posible para resolver este problema en el mismo espíritu, siguiendo estos pasos:

• El uso de los axiomas para una firma de medida, junto con lo que han dicho acerca de la $\nu$ medida de singleton conjuntos, para mostrar que la única definición posible de $\nu$ es $\nu (A) = \sum_{n \in A} n^p (-1)^n$.

• Para que esta definición tenga sentido, debe ser el caso de que $\sum_{n \in A } n^p (-1)^n$ es convergente, finito e independiente de la suma de pedidos para cualquier $A \subset \mathbb N$. Aplicar esto a $A = \{1, 3, 5, \dots \}$ e $A = \{2, 4, 6, \dots \}$ a argumentar que $\sum_{n = 1}^\infty n^p < \infty $ es una necesaria condición en $p$.

• Deje $\mu$ denotar el estándar de contar medida en $\mathbb N$. A continuación, la condición de $\sum_{n = 1}^\infty n^p < \infty $ asegura que la función de $h : \mathbb N \to \mathbb R$ dado por $h(n) = n^p (-1)^n$ es $\mu$-integrable. El uso de convergencia dominada para demostrar que si $\sum_{n = 1}^\infty n^p < \infty $, entonces para cualquier $A \subset \mathbb N$, la serie $\sum_{n \in A} n^p (-1)^n$ es convergente, finito, independiente de pedidos, y es igual a $\int_A h \ d\mu$. Por lo tanto la condición $\sum_{n = 1}^\infty n^p < \infty $ implica que mi definición de $\nu(A)$ tiene sentido.

• Por último, señalan que la condición $ \sum_{n \in A} n^p < \infty $ es suficiente para asegurar que $\nu (\cup_{j \in J} A_j) = \sum_{j \in J} \nu (A_j)$ para cualquier contables de la colección de subconjuntos disjuntos $\{ A_j \}_{j \in J}$. Esto a su vez puede ser demostrado por la convergencia dominada, con el hecho de que $\nu (A) = \int h \mathbb 1_A \ d\mu$ para todos los $A \subset \mathbb N$.