Si $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$ y $H\bigcap K = \{e\}$ , demuestre que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $G/H \times G/K$

Question

Intenté probarlo de la siguiente manera, pero no soy confiado con este tipo de problemas así que cualquier verificación sería apreciada. Gracias.

Dejemos que $A = \{(gH, gK): g \in G\}$

Definir $\phi$ : $G$ $\rightarrow$ $A$ por $\phi(g)=(gH,gK)$

Primero mostraremos $\phi$ es un homomorfismo:

$\phi(gg')=(gg'H,gg'H)=(gHg'H,gHg'H)=(gH,gH)(g'H,g'H)=\phi(g)\phi(g')$

Ahora mostraremos $\phi$ es biyectiva, y por tanto un isomorfismo:

El codominio de $\phi$ es { $(gH,gK):g \in G$ Así que $\phi$ es claramente sobre. Ahora supongamos $g_1\not= g_2$ y $\phi(g_1)=\phi(g_2)$ . Entonces $(g_1H,g_1K)=(g_2H,g_2K)$ $\Rightarrow$ $g_1H=g_2H$ y $g_1K=g_2K$ $\Rightarrow$ $g_2^{-1}g_1\in H$ y $g_2^{-1}g_1 \in K$ , una contradicción ya que asumimos $H\bigcap K = \{e\}$

$\square$

Answer 1

Podrías hacer esto más limpio calculando directamente el núcleo (aunque como alguien ya dijo, tu argumento es válido):

\begin{align*} \ker\phi &=\{g\in G\mid (gH,gK)=(H,K)\}\\ &= \{g\in G\mid gH=H\text{ and }gK= K\}\\ &= \{g\in G\mid g\in H\text{ and }g\in K\}\\ &= H\cap K\\ &= \{e\}\end{align*}