Deje $M,M'$ ser homeomórficos liso, cerrado, simplemente conectado 4-variedades. Es necesariamente cierto que $w_2(TM)=w_2(TM')$ e $p_1(TM)=p_1(TM')$? Si es así, el comentario en este post, muestra que $TM$ e $TM'$ son topológicamente isomorfo como vector de paquetes.
Si lo anterior es falso, ¿cómo la declaración de fallar, es decir, ¿tenemos $w_2(TM)\neq w_2(TM')$o $p_1(TM)\neq p_1(TM')$, o ambos?
Sí, al menos en el orientable caso. En primer lugar, la Stiefel-Whitney clases depende sólo de la Wu clases, que son homotopy invariantes (que sólo dependen de la copa del producto + Steenrod operaciones), y por lo tanto también lo son los Stiefel-Whitney clases, algo sorprendente. El segundo, por el Hirzebruch firma teorema, $p_1$ está determinado por la firma (y una orientación), el cual es determinado por orientado homotopy tipo, y por lo $p_1$ es un homotopy invariantes en este caso (la dependencia de la orientación de la cancela).
No estoy seguro de lo que sucede a $p_1$ en el nonorientable caso. Tal vez deberíamos pasar a la orientable de cubierta doble.
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