En una tirada de dado, si $X$ es el número del primer dado y $Y$ es el número del segundo dado, entonces determine si la variable aleatoria $X+Y$ y $X-Y$ son independientes.
La covarianza entre ambos resultó ser $\mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var} (Y)$ . Así que una covarianza cero significaría que $\mathrm{Var}(X)$ y $\mathrm{Var}(Y)$ es cero, es decir, no hay dispersión. Pero también sabemos que una covarianza cero no implica independencia. La verdad es que no se me ocurre cómo demostrar la independencia entre ambas.
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El artificio es Var(X) - Var(Y). Además, ¿tienen los troqueles el mismo número de lados?
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La independencia es P(XY)=P(X)P(Y). Puedes calcular todas las probabilidades de 36 resultados y demostrar que la ecuación se cumple.
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@keiv.fly ¿Calculamos las probabilidades X-Y y X+Y para diferentes casos y luego utilizamos P((X-Y)(X+Y))=P(X-Y)P(X+Y)? ¿No hay un método más corto y formal para hacer lo mismo?
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@t.f Todavía no conozco el término "artificio". Sí, tienen el mismo número de lados.
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Si sus dados son conocidos, por ejemplo, con numeración estándar de 1 a n, entonces (X+Y) y (X-Y) no son independientes. Una forma sencilla de pensar en la refutación de la independencia es que sólo hay que demostrar que existe al menos un resultado de X+Y tal que X-Y se conoce con absoluta certeza. si X+Y = 2, entonces (X-Y) se conoce y tiene que ser 0.
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Sospecho que "artificio" puede haber sido un error tipográfico de "covarianza". Es relevante para la pregunta sobre dados diferentes, porque tendrán varianzas diferentes, de donde la covarianza de $X-Y$ y $X+Y$ será distinto de cero, es decir prima facie pruebas de falta de independencia. Sin embargo, no resolverá la cuestión para dados idénticos, porque una covarianza cero no implica independencia en este escenario.