Automorfismos en $(\mathbb R,+)$ y el Axioma de Elección

Question

Sabemos que la algebraicas automorfismos de los números reales en virtud de la suma no se en $\text{1:1}$ correpondence con $\mathbb R \setminus \{0\}$; ver aquí.

El argumento que utiliza el AOC.

Supongamos que tenemos una caída de la AOC de $\text{ZFC}$ reemplazarlo con

Axioma (GR):

El inyectiva asignación de

$\quad \Phi: \mathbb R \setminus \{0\} \to \text{AutomorphismGroup(} \mathbb R ,+ \text{)}$

es surjective.

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Tiene esta $\text{ZF+GR}$ sido probado y/o llevar a $1 = 0$?

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Actualización:

Añadido descriptivo de la teoría de conjuntos de la etiqueta después de mirar por encima de enlaces en los días de Noé respuesta.

Answer 1

De hecho, es coherente, y de hecho es una consecuencia de la extremadamente potente axioma de determinación.

Específicamente, el ANUNCIO implica que cada homomorphism de $(\mathbb{R},+)$ a sí mismo es continuo, y en particular de la forma $a\mapsto ar$ para algunos $r\in\mathbb{R}$. Ver aquí para una breve discusión de cómo desagradable cualquier otro endomorfismo tendría que ser; las reglas de ANUNCIOS de tales conjuntos (por ejemplo, implica que cada conjunto de los reales es medible).

Por supuesto, como Asaf observa a continuación, el ANUNCIO es realmente enorme exageración (como, bombardear un mosquito); estoy mencionando que debido a que la EA es una alternativa natural a los CA que usted puede de manera independiente quiere saber acerca de.

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Ahora AD no es realmente barato: la teoría ZF+AD prueba la consistencia de ZF, es decir, el axioma de determinación es de gran consistencia de la fuerza. Podemos probar la consistencia de ZF+GR relativa a ZF solo; sin embargo, este es un poco más técnico.