Es la categoría de dimensiones finitas $k[x]$ -¿Módulos una categoría comodín?

Question

Fijar un campo $k$ , denótese por $k[x]$ el álgebra polinómica. La categoría de módulos de dimensión finita sobre $k[x]$ es precisamente la categoría $\mathcal{C}$ que se compone de pares $(V, T_V: V \to V)$ de espacios vectoriales de dimensión finita dotados de un endomorfismo. Los morfismos en esta categoría son aquellos mapas lineales $f: V \to W$ tal que $f T_V = T_W f$ . La categoría $\mathcal{C}$ es $k$ -lineal y abeliana, todo objeto es de longitud finita, y tiene un functor de fibra natural $\omega: \mathcal{C} \to \mathsf{Vect}_k$ olvidando el endomorfismo asociado a un espacio vectorial.

Varias cosas que he leído dicen que la categoría $\mathcal{C}$ debe ser equivalente a la categoría de códulos finitamente generados sobre alguna álgebra $B$ de manera que sea compatible con el functor de fibra $\omega$ . Pero me cuesta encontrar un álgebra que se dé cuenta de esto. ¿Tengo alguna suposición errónea? ¿Quizás algo sobre los generadores de la categoría?

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Adición: Transformaciones nilpotentes . Puedo resolver este problema si requiero que todos los endomorfismos sean nilpotentes. Sea $\mathcal{N}$ sea la subcategoría completa de $\mathcal{C}$ donde cada endomorfismo es nilpotente. Entonces $\mathcal{N}$ es la categoría de códulos sobre la siguiente álgebra $N$ :

• Como $k$ -espacio vectorial, $N = \{x_0, x_1, x_2, \ldots\}$ .
• El país es $\epsilon(x_i) = \delta_{i0}$ .
• El coproducto es $\Delta(x_n) = \sum_{i + j = n} x_i \otimes x_j$

Esto se puede derivar sistemáticamente tomando las álgebras duales de las álgebras $k[x]/x^n$ para aumentar $n$ y luego tomar un límite. Sin embargo, no tengo idea de cómo hacer esto para los valores propios que no son cero.

Answer 1

Esta es una manera de pensar en esto. Primero, sobre un campo $k$ la categoría de las álgebras es la Ind-categoría de la categoría de álgebras de dimensión finita. En segundo lugar, la categoría de las álgebras finito-dimensionales es equivalente a la categoría opuesta de las álgebras finito-dimensionales, tomando duales lineales. Por lo tanto, tenemos

$$\text{Coalg}(k) \cong \text{Ind}(\text{Coalg}_f(k)) \cong \text{Ind}(\text{Alg}_f(k)^{op}) \cong \text{Pro}(\text{Alg}_f(k))^{op}$$

de lo que concluimos que la categoría de álgebras es equivalente a la opuesta de la categoría de álgebras profinitas ; es decir, límites formales cofiltrados de álgebras de dimensión finita. La correspondencia viene de nuevo de tomar duales lineales.

Además, esta correspondencia respeta los módulos de la siguiente manera: la categoría de códulos de dimensión finita sobre una álgebra $C$ es equivalente a la categoría de módulos de dimensión finita sobre el álgebra profinita dual correspondiente (donde "módulo" significa "módulo sobre un cociente finito", o equivalentemente "módulo continuo"). Por último:

Observación: La categoría de módulos de dimensión finita sobre un álgebra $A$ es equivalente a la categoría de módulos de dimensión finita sobre su terminación profusa $\widehat{A}$ .

Aquí la terminación profinita de un álgebra $A$ es el límite cofiltrado sobre todos los cocientes de dimensión finita $A/I$ .

Por lo tanto, la pregunta sigue siendo: ¿cuál es la terminación profinita de $k[x]$ ? Todo cociente finito tiene la forma $k[x]/f(x)$ para algún polinomio mónico $f(x)$ que tiene alguna factorización $f(x) = \prod_i f_i(x)^{m_i}$ en irreducibles. El cálculo del límite cofiltrado resultante se divide en una pieza independiente para cada irreducible, y acabamos obteniendo

$$\widehat{k[x]} \cong \prod_f \lim_m k[x]/f(x)^m$$

donde el producto pasa por todos los irreducibles mónicos. En el caso especial de que $k$ es algebraicamente cerrado, son todos polinomios lineales $f(x) = x - a$ y obtenemos

$$\widehat{k[x]} \cong \prod_{a \in k} k[[x - a]].$$

Compárese con el cálculo habitual de la terminación profinita de $\mathbb{Z}$ como el producto $\prod_p \mathbb{Z}_p$ sobre el $p$ -adics. La correspondiente álgebra dual es la suma directa de la álgebra dual de cada $k[[x - a]]$ que es lo que se dice en la respuesta de Julian.

Answer 2

Permítanme suponer $k$ para ser algebraicamente cerrado. De lo contrario, la historia es más complicada.

Entonces los módulos de dimensión finita sobre $k[x]$ puede describirse mediante la forma normal de Jordan. En particular, los módulos indescomponibles están dados por bloques de Jordan. Además, es fácil ver que no hay homomorfismos entre módulos indecomponibles correspondientes a diferentes valores propios. Por tanto, la categoría de módulos de dimensión finita sobre $k[x]$ se descompone en "bloques", es decir, subcategorías tales que no hay homomorfismos entre ellas.

Cada bloque es isomorfo al bloque del valor propio $0$ (sólo hay que restar $\lambda\operatorname{id}$ de un bloque de Jordan con valor propio $\lambda$ para obtener un bloque de Jordan nilpotente). Se puede comprobar que esto define una equivalencia de categorías.

Ya has calculado que la álgebra correspondiente a $\mathcal{N}$ es la álgebra tensorial $k[x]$ . La categoría de códulos sobre una suma directa de álgebras viene dada precisamente por la "unión" de las categorías de códulos de los bloques (es decir, cada objeto viene dado simplemente por una suma directa de objetos de los bloques). Por lo tanto, la coalgebra correspondiente a las comodulas de dimensión finita sobre $k[x]$ es $\bigoplus_{\lambda\in k} k[x]$ .

Answer 3

Me gustaría añadir una posibilidad adicional que no parece haber surgido todavía. Supongo que $k$ para ser un campo en aras de la simplicidad. Recordemos que si $A$ es un álgebra sobre $k$ entonces podemos considerar su álgebra dual finita $$A^\circ=\left\{f\in A^*\mid \ker(f)\supseteq I \text{ for some finite-codimensional ideal }I\subseteq A\right\}.$$ Se puede deducir de Abe, Álgebras de Hopf En el capítulo 3, §1.2, se afirma que existe un isomorfismo de categorías $$\mathsf{mod}_A\cong {^{A^\circ}\mathsf{comod}}$$ donde $\mathsf{mod}_A$ son derechos de dimensión finita $A$ -módulos y ${^{A^\circ}\mathsf{comod}}$ son de dimensión finita a la izquierda $A^\circ$ -comódulos.

En una dirección, es bien sabido que todo comodule sobre $A^\circ$ es un módulo (racional) sobre $A^{\circ*}$ y, por restricción de escalares a lo largo de $A\to A^{\circ*}$ este hecho induce un functor ${^{A^\circ}\mathsf{Comod}}\to \mathsf{Mod}_A$ que se puede (co)restringir a un functor ${^{A^\circ}\mathsf{comod}}\to \mathsf{mod}_A$ compatible con los funtores subyacentes a $\mathsf{vec}_k$ . Es decir, si $(V,\delta)$ es una dimensión finita $A^\circ$ -comódulo entonces $V$ se convierte en una dimensión finita $A$ -módulo a través de $$V\otimes A\to V, \qquad v\otimes a\mapsto \sum_{(v)}v_{[-1]}(a)v_{[0]}.$$

Al revés, suponga que $(M,\mu)$ es una dimensión finita $A$ -con base dual $\sum_i e_i^*\otimes e_i$ en $k$ . Para cada $m\in M$ , set $f_m:A\to M,a\mapsto m\cdot a$ . Entonces $$M\to A^\circ\otimes M, \qquad m\mapsto \sum_ie_i^*f_m\otimes e_i$$ es una forma bien definida $A^\circ$ -coacción en $M$ y se puede demostrar que estas dos asignaciones son inversas.

De hecho, la idea es que $A^\circ$ es la coalgebra universal coactiva que la reconstrucción de Tannaka-Krein proporciona a partir del functor subyacente $\omega:\mathsf{mod}_A\to\mathsf{vec}$ .