Hallar el rango de la función

Question

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}}$$ Demostrar que para todo número real positivo $a$, $1<f(x)<2$

Según yo creo que la pregunta no es correcta. como en $a= 16$, tenemos el caso cuando la función alcanza valor infinito en la izquierda de $-1/2$.

Answer 1

Tienes razón, parece ser cierto para

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\sqrt{\frac{ax}{ax+8}}$$

sólo para $x>0$, de hecho

$$f'(x) = -\frac12\frac{1}{\sqrt[2]{(1+x)^3}}+\frac{a}{ax+8}\frac{1-\frac{ax}{ax+8}}{2\sqrt{\frac{ax}{ax+8}}}<0$$

y $$f(0)=1+\frac{1}{\sqrt{1+a}}<2, \quad f(x)\to 1 \quad x\to \infty$$