Demostrar que $T_n = 3n^2 -60n + 301$ es positivo para todos los $n$

Question

Hace poco hice un examen de Matemáticas del año anterior, y me topé con una pregunta de respuesta me es difícil entender completamente.

Es dado: La cuadrática patrón de $244 ;~ 193 ;~ 148 ;~ 109;~ \ldots$

He determinado el $n$-$\textrm{th}$ plazo como $T_n = 3n^2 -60n + 301$.

Ahora las preguntas son:

Mostrar que todos los términos de la ecuación cuadrática patrón es positivo.

Nuestro profesor nos explicó completando el cuadrado de la fórmula, pero no podía coger lo que ella dijo, y en su lugar, yo no entendía por qué habría de completar el cuadrado. Yo, sin embargo, ver que para $3n^2 - 60n + 301$ tenemos $\Delta < 0.$

Puedo deducir que iría en la dirección de una desigualdad mientras que usted tiene $n >0$ (incompleta).

Tal vez alguien con un entendimiento superior puede explicar esto a mí.

Answer 1

En primer lugar, sabemos que todos los cuadrados son positivos.

$$(n-10)^2 \ge 0\\ 3(n-10)^2 \ge 0 \\ 3(n-10)^2 +1 \ge 1 >0 \\ 3(n-10)^2 +1 >0 $$

Ampliando lo vamos a conseguir $$3n^2-60n+301>0$$

La manera de abordar esto es por pensar: ¿qué debe ser positivo? en las plazas. Entonces, ¿cómo puedo ir con una plaza? Completando el Cuadrado.

Completando el Cuadrado es bien explicado aquí.

Answer 2

Completando el cuadrado da $ \Delta \leq 0$
Demuestra que la ecuación siempre será positivo.

Pero, es más fácil hacerlo utilizando el cálculo.
Tome $$y=3n^2-60n+301$$
Tome la primera derivada con respecto a n: $$\frac{dy}{dn}=y'=6n-60$$ $$y'=6(n-10)$$ Como se puede ver, para todos los $$n <10 , y'< 0$$

Y, para todos los $$n>10, y'>0$$

Esto significa que la función de $y=f(x)$ alcanza su mínimo en x=10. f(10)=1
Se disminuye antes de $x=10$ , y se incrementa después de la $x=10$.

Así, nunca puede ser negativo.

tener una mirada en el gráfico

Answer 3

Una forma muy elemental de ver esto es para comparar la fórmula similar a$3n^2 - 60n$. Esta realidad se desplaza hacia abajo a $-300$ antes de levantarse de nuevo a 0 y, a continuación, parece que no deja de subir y subir.

En orden para que esto sea negativo, usted necesita $3n^2 < 60n$. Si $n < 60$, entonces claramente $n^2 < 60n$. Pero si $n > 60$, entonces es obvio que $n^2 > 60n$, por lo que triplicando $n^2$ sólo amplía el golfo.

Así 301 es el número más pequeño que puede añadir a $3n^2 - 60n$ a fin de elevarlo por encima de 0 para los pocos valores positivos de $n$ lo hace ir por debajo de 0.

Como para valores negativos de $n$, bien, $n^2$ es positivo de todos modos y para es $-60n$.

Answer 4

Completando el cuadrado permiten ver el vértice claramente. Para $f(x)=ax^2+bx+c$ donde $a>0$, podemos ver que el valor mínimo que puede alcanzar.

Alternativamente, acaba de ver que el discriminante es negativo, la función no se cruzan las $x$-eje y no cambia de signo. Dado que uno de los término es positivo, cada término es positivo.