Demostrar que, dado cualquier cinco enteros, habrá tres para que la suma de los cuadrados de los números enteros es divisible por 3.

Question

Básicamente la pregunta que se nos pedía a demostrar que, dado cualquier enteros $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$$ Prove that 3 of the integers from the set above, suppose $$x_a,x_b,x_c$$ satisfy this equation: $$x_a^2 + x_b^2 + x_c^2 = 3k$$ Así que yo sé que yo soy suponga el uso de la encasillar principio para probar esto. Sé que si tengo 5 palomas y 2 agujeros de 1 agujero tendrá 3 palomas. Pero lo que yo estoy confundido acerca de cómo definir el agujero? Sólo debo decir que el contenedor tiene una propiedad de tal manera que si 3 enteros están en él, a continuación, los 3 enteros el cuadrado de la suma de un múltiplo de 3?

Answer 1

Cualquier cuadrado entero debe ser congruente a 1 o 0 mod 3. Así que para cada una de las 5 plazas, se ha puesto en hoyo de 0 si es congruente a 0 y en el agujero 1 si es congruente a 1. A continuación, tomar tres plazas del hoyo con al menos 3 plazas y sumarlas. Usted recibirá: $0+0+0\equiv 0$ o $1+1+1\equiv0$ mod 3.

Answer 2

El resto de cada entero en la división por $3$ es $0$,$1$o $2$.

Por lo tanto el resto de una plaza en la división por $3$ es $0$ o $1$.

Ahora tenemos $5$ cuadrados perfectos que se refiere a un conjunto de $5$ restos de cada uno de los cuales es un $0$ o $1$.

El encasillar a principio dice que hay por lo menos tres del mismo tipo en el conjunto de restos. Bien, bien tenemos $1+1+1$ o $0+0+0$ en nuestros suma de los cuadrados y en cualquier caso la suma es divisible por $3$

Answer 3

Cualquier entero es de una de las siguientes formas:

• $3k + 0$ (estos son los múltiplos de 3)
• $3k + 1$
• $3k + 2$

donde $k$ es un número entero.

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Si tenemos la plaza de esto, estamos

• $9k^2$
• $9k^2 + 6k + 1$
• $9k^2 + 12k + 4$

Si luego miramos los restos de estos cuando se divide por $3$, vemos que

• $9k^2 \equiv 0 \pmod 3$
• $9k^2 + 6k + 1 \equiv 1 \pmod 3$
• $9k^2 + 12k + 4 \equiv 1 \pmod 3$

Así que el cuadrado de cualquier entero es equivalente a $0$ o $1$, modulo $3$.

Estos serán nuestros dos boquetes.

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Aplicando el principio del palomar a las plazas de nuestros 5 números enteros, vemos que al menos 3 han resto $0$, o, al menos, 3 han resto $1$. Vamos a llamar a estos 3 números enteros $x_1$, $x_2$, e $x_3$.

En el primer caso, $x_i^2 \equiv 0 \pmod 3$ y de forma que la suma de estos $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \equiv 0 + 0 + 0 \pmod 3 \equiv 0 \pmod 3$

En el último caso, $x_i^2 \equiv 1 \pmod 3$ y de forma que la suma de estos $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \equiv 1 + 1 + 1 \pmod 3 \equiv 0 \pmod 3$

QED

Answer 4

Cualquier entero está en uno de los 3 sets:

• los múltiplos de 3
• enteros de la forma $3k+1$ donde $k$ es un número entero
• enteros de la forma $3k+2$ donde $k$ es un número entero

Estas son las clases de congruencia, modulo 3. Piense en ello como su casilleros.

De los 5 números enteros $x_i^2$, si alguna de las 3 de ellos están todos en la misma clase de congruencia, la suma de los 3 números enteros es divisible por 3.

Si alguna de las 3 de ellos son de 1 en cada una de las 3 clases de congruencia, su suma es divisible por 3.

De lo contrario, su enteros están en la mayoría de los 2 congruencia de las clases, con un máximo de 2 en cualquier clase de congruencia. Esto significa que usted tiene en la mayoría de las $2\cdot2=4$ enteros. Pero tiene cinco. Contradicción. Esto demuestra el resultado.

Alternativa: tiene 5 números enteros y 3 casilleros para ponerlos en, y usted no puede poner más de 2 enteros en el mismo agujero. Dos de cada uno en 2 agujeros es de 4. Por lo tanto usted debe utilizar todos los 3 agujeros. Y la suma de 3 números enteros, uno en cada agujero, es divisible por 3.

De hecho, se demuestra un mayor resultado, ya que funciona para cualquier 5 números enteros. Usted no necesita saber que no se entero de la plaza es congruente a 2.

Answer 5

Echemos un vistazo a cualquier $3$ de ellos,decir $a,b,c$ entre $a,b,c,d,e$. Usted debe tener $2$ casos: $a^2 = 0, b^2=1, c^2=0$ o $a^2=0, b^2=1,c^2=1$ para el peor escenario. Para la última $2$ números de $d,e$, si al menos uno, decir $d^2 = 0$, ya está hecho. Si no $d^2= e^2 = 1$, a continuación, $b^2+d^2+e^2 = 0$, todos los mod $3$. Y listo.