Enteros que son el cuadrado de la norma de 3 por 3 matrices de enteros

Question

Deje $n$ ser un entero positivo. Deje $E_n$ el conjunto de los números enteros que son la suma de $n$ plazas.
Deje $F_n$ el conjunto de los enteros de la forma $\Vert A \Vert^2$ con $A \in M_n(\mathbb{Z})$. A continuación, $E_n \subseteq F_n$porque: $$\left\| \pmatrix{a_1&0& \cdots\\ \vdots & \vdots& \\ a_n&0& \cdots} \right\|^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2.$$ Tenga en cuenta que el caso de $n=3$ es excepcional, debido a que $E_n= F_n$ $\forall n \neq 3$, mientras que el $E_3 \subsetneq F_3$:

• obviamente $E_1=F_1$,
• se demuestra aquí que $E_2=F_2$,
• para $n \ge 4$, $E_n=F_n$ porque $E_4 = \mathbb{N}$, por Lagrange del teorema de los cuatro cuadrados,
• finalmente, $E_3 \subsetneq F_3$ porque $\forall n \le 2000$, $n \in F_3$ (por cálculo a continuación), considerando lo siguiente:

  Legendre tres cuadrados teorema de
  Un número natural se puede representar como la suma de tres cuadrados de números enteros si y sólo si no es de la forma $4^n(8m+7)$ para los números enteros $n,m \ge 0$.

Pregunta: Que los números enteros están contenidas en $F_3$?

El cálculo sugiere que $F_3$ contiene cada número natural, por lo que (si es cierto) nos reduce a probar que contiene los de la forma $4^n(8m+7)$, por Legendre tres cuadrados teorema.

---

Cálculo

sage: L=[]
....: for a2 in range(33):
....:     for a4 in range(33):
....:         for a5 in range(33):
....:             for a7 in range(33):
....:                 for a8 in range(33):
....:                     n=numerical_approx(matrix([[0,a2,0],[a4,a5,0],[a7,a8,0]]).norm()^2,digits=10)
....:                     if n.is_integer():
....:                         L.append(int(n))
....: l=list(set(L))
....: l.sort()
....: l[2095]
....:
2095

Answer 1

Versión corta

$$\left\| \pmatrix{a&0&0\\ b&0&0 \\ c&0&0} \right\|^2 = a^2+b^2+c^2 \ \text{ and } \ \left\| \pmatrix{a&a&0\\ b&-c&0 \\ c&b&0} \right\|^2 = 2a^2+b^2+c^2.$$
Estas dos formas de cubrir cada número natural por los Teoremas I y V de este artículo de la L. E. Dickson.

---

Versión larga

Recordemos que $\Vert A \Vert^2$ es sólo el mayor autovalor de a$A^*A$. Tome $a_i,b_i \in \mathbb{Z}$ e $$A=\pmatrix{a_1&b_1&0\\ a_2&b_2&0 \\ a_3&b_3&0}$$ A continuación, $$ A^*A = \pmatrix{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2&a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&0\\ a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3&b_1^2 + b_2^2 + b_3^2&0 \\ 0&0&0}$$

Podemos deducir de su polinomio característico y el más grande de la raíz. De ello se desprende que $$\Vert A \Vert^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_{i=1}^3 (a_i^2 +b_i^2) + \sqrt{\left(\sum_{i=1}^3 (a_i^2 +b_i^2)\right)^2 -4\sum_{i<j}(a_ib_j-a_jb_i)^2} \right)$$

Deje $u=\pmatrix{a_1\\ a_2 \\ a_3}$, $v=\pmatrix{b_1\\ b_2 \\ b_3}$, e $u\times v$ ser su producto cruzado. A continuación, se observa que la

$$\Vert \Vert^2 = \frac{1}{2} \left( \Vert u \Vert^2 + \Vert v \Vert^2 + \sqrt{\left(\Vert u \Vert^2 + \Vert v \Vert^2\right)^2 -4 \Vert u \times v\Vert^2} \right)$$

Recordemos que $ \Vert u \times v \Vert^2 + (u \cdot v)^2 = \Vert u \Vert^2\Vert v \Vert^2$, $u \cdot v$ el producto escalar. Entonces

$$\Vert \Vert^2 = \frac{1}{2} \left( \Vert u \Vert^2 + \Vert v \Vert^2 + \sqrt{\left(\Vert u \Vert^2 - \Vert v \Vert^2\right)^2 +4 (u \cdot v)^2} \right)$$

Suponga que $\Vert u \Vert = \Vert v \Vert$. A continuación, $$ \Vert A \Vert^2 = \Vert u \Vert^2+ \vert u \cdot v \vert.$$

Para cualquier $u= \pmatrix{a\\ b \\ c} \in \mathbb{Z}^3$, tome $v= \pmatrix{a\\ -c \\ b}$. A continuación, $$ \Vert A \Vert^2 = 2a^2+b^2+c^2.$$

Por el Teorema de V en este artículo de L. E. Dickson, la forma de arriba representa a todos los números naturales no de la forma $2^{2n+1}(8m+7)$. Pero esto último es en $E_3$ por Legendre tres cuadrados teorema, y ya sabemos que $E_3 \subset F_3$. El resultado de la siguiente manera. $\square$

Bono de problema: Encontrar una prueba con $A \in M_3(\mathbb{N})$.

---

Para la diversión: una clasificación de los números naturales por los ángulos

Recordemos que $\Vert u \times v\Vert^2 = \Vert u \Vert^2 \Vert v \Vert^2 \sin^2(u,v)$. Recordemos la anterior matriz $A$ como $A_{u,v}$. Considerar el ángulo de $$\alpha(n):=\min_{u,v \in \mathbb{Z}^3}\{\text{angle}(u,v) \in [0,2\pi) \text{ such that } \Vert A_{u,v} \Vert^2 = n \}.$$

Teorema: $\alpha(n) = 0$ si y sólo si $n \in E_2E_3$.
prueba: tenga en cuenta que $\alpha(n) = 0$ fib $\exists u,v \in \mathbb{Z}^3$ con $\Vert A_{u,v} \Vert^2 = n$ e $u \times v = 0$ (es decir, colineales), iff $\exists r \in \frac{1}{\gcd(u)}\mathbb{Z}$ tal que $v=ru$, $\gcd(u)$ el máximo común divisor de a$u_1, u_2$ e $u_3$. A continuación, $$\Vert A \Vert^2= (r^2+1)\Vert u \Vert^2.$$

Para cualquier $u'= \pmatrix{a\\ b \\ c} \in \mathbb{Z}^3$ y cualquier $s,t \in \mathbb{Z}$, suponga que $u=su'$ (de modo que $s | \gcd(u)$) y $r=t/s$. A continuación, $$\Vert A \Vert^2= (t^2+s^2)\Vert u' \Vert^2 = (t^2+s^2)(a^2+b^2+c^2).$$
El resultado de la siguiente manera. $\square$

Por encima de material con $\vert u \cdot v \vert^2 = \Vert u \Vert^2 \Vert v \Vert^2 \cos^2(u,v)$, tenemos:
Lema: $\alpha(2a^2+b^2+c^2) \le \arccos(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2})$.

A continuación, $\alpha(7) \in (0,\theta]$, $\theta = \arccos(1/6) \simeq 1.403348 \text{ rad} \simeq 80.4°$