Prueba con $\epsilon, \delta$ -definición

Question

Demostrar que $\displaystyle \lim_{x\to-2} (5x^2-3x+4)=30$ .

Lo tengo calculado para $|5x-13||x+2| < \epsilon$ .

y ahora no puedo saber a dónde ir desde allí

Answer 1

Hay una forma más o menos estándar de abordar estos problemas: Dado $\epsilon>0$ , quiere encontrar un $\delta>0$ de manera que si $0<|x+2|<\delta$ entonces $|(5x^2-3x+4)-30|<\epsilon$ . Como usted dice, esto último se puede reescribir como $|5x-13||x+2|<\epsilon$ . Tenemos que encontrar un $\delta$ que garantiza que así sea.

Tenga en cuenta que $|5x-13|=|5(x+2)-23|\le 5|x+2|+23$ utilizando la desigualdad del triángulo.

Ahora exigimos que el $\delta$ que necesitamos exhibir será como máximo $1$ . El número específico ( $1$ en este caso) es irrelevante. Sólo quiero una constante. Bajo este requisito, vemos que $$5|x+2|+23<5\delta+23\le 5+23=28.$$ Por lo tanto, $$|5x-13||x+2|\le 28|x+2|<28\delta.$$ Como queremos que el producto original sea como máximo $\epsilon$ La forma más fácil de arreglarlo ahora es exigir que $28\delta$ es como máximo $\epsilon$ .

En resumen, vemos que hemos impuesto dos requisitos a $\delta$ : Debe ser como máximo $1$ y debe ser como máximo $\epsilon/28$ .

Podemos combinar ambos requisitos y finalmente elegir $\delta$ como $\min\{1,\epsilon/28\}$ . Ahora podemos comprobar que este $\delta$ efectivamente funciona.

Ahora bien, nótese que no hemos elegido el valor "óptimo" de $\delta$ . De hecho, ni siquiera intentamos encontrar ese valor óptimo. Y hay cierto margen de mejora. (Por ejemplo, podemos sustituir la constante $1$ con otra constante, y ver cómo afecta al valor de $\delta$ . Para ilustrar, si sólo exigimos que $\delta<2$ entonces todo lo que podemos decir ahora es que $5|x+2|+23<5\delta+23\le10+23=33$ Así pues, el otro requisito para $\delta$ es ahora que es como máximo $\epsilon/33$ .)

Answer 2

Dejemos que $\epsilon>0$ y tomar $\delta=\min(1,\epsilon)$ entonces si $|x-(-2)|=|x+2|\leq \delta$ entonces por la desigualdad del triángulo tenemos $|x|\leq 2+\delta\leq 3$ por lo que encontramos $$|5x-13|\leq 5|x|+13\leq28$$ por lo que encontramos $$|5x^2-3x+4-30|=|5x-13||x+2|\leq 28\delta\leq 28\epsilon$$

Añadido Si queremos el resultado final $\cdots\leq \epsilon$ podemos rectificar nuestra prueba eligiendo $\delta=\min(1,\frac{\epsilon}{28})$