Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con identidad, y $S$ un subconjunto multiplicativo de $R$ que no contenga $0$ . ¿Qué paso de mi razonamiento es erróneo?
Considere la localización de $R=\Bbb{Z}_6$ con respecto al conjunto multiplicativo $S=\{1,3\}$ . En $S^{-1}R$ tenemos $2/1=0/1$ porque $3\cdot(2\cdot1-0\cdot1)=0$ . Pronto se deduce que $S^{-1}R\simeq \Bbb{Z}_2$ . Usted ve que $3/1=1$ es invertible en ese anillo.
El error es que aunque un elemento $a\in R$ es un divisor cero en $R$ puede ocurrir que $a/1$ no es un divisor cero. Esto se debe a que puede ocurrir que para todo $b\in R$ tal que $ab=0$ obtenemos $b/1=0$ en $S^{-1}R$ .
Mi modelo mental todo este tiempo era que $S^{-1}R$ es la extensión más sencilla de $R$ en el que cada elemento de $S$ es una unidad. Pero de hecho, $S^{-1}R$ puede que ni siquiera sea una extensión de $R$ .
Sí, este tipo de localización es poco intuitiva. Tuve que pensar en ello durante un tiempo. Supongo que los geómetras algebraicos se encuentran con estas bestias a diario :-)
Aunque, la inclusión $R\to S^{-1}R$ tiene un núcleo $\{a\in R\mid \exists s\in S,\ as = 0\}$ por lo que la localización en un conjunto $S$ con divisores cero en él puede ser pensado como un proceso de dos etapas, primero cotizando los divisores cero, y luego tomando el enfoque de "extensión mínima" que mencioné anteriormente.
El paso 2. es falso:
Considere $R=\mathbb R[X,Y]/(X\cdot Y)=\mathbb R[x,y]$ y $S=\{1,x,x^2,x^3,\cdots\}$ .
Tenemos $S^{-1}R\cong \mathbb R[x,\frac 1x]$ . El elemento $x\in R$ que era un divisor de cero en $R$ (ya que $xy=0,\; y\neq 0$ ), ya no es un divisor de cero en $S^{-1}R$ (ya que ese último anillo es un dominio).
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Para este subconjunto se obtiene $S^{-1}R = \{0\}$ , por lo que 1,2,3 son verdaderos. Simplemente se obtiene $1=0$ en su anillo :)
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@N.H. Puede que te esté entendiendo mal, pero según la Wikipedia, $S^{-1}R=\{0\}$ si y sólo si $0\in S$ .
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Tienes razón, lo siento, respondí demasiado rápido.
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Lo único relacionado en el artículo de Wikipedia que he encontrado dice que $R\to S^{-1}R$ es inyectiva si y sólo si $S$ no contiene ningún divisor cero.
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Bien, déjame intentarlo una segunda vez. Supongamos que tiene $as = 0$ con $a \in A$ y $s \in S$ . En la localización, $(a,1) \sim (as,s) \sim (0,1)$ . Así, $a = 0$ y $s$ ya no es un divisor de cero en $S^{-1}A$ .
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@JyrkiLahtonen Lo siento, estaba hablando de este artículo.
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¡Oh! Lo siento, Jack. Debería haber adivinado que podría haber varios artículos de WP sobre esto.