Por ejemplo, $$\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{n}{2n+1}$$ Hay una manera más fácil para evaluar la fracción de sumas (sin el uso de sumas parciales)?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un enfoque general que funciona bastante bien es parcial fracción de descomposición: $$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(2k-1)}-\frac{1}{(2k+1)}\right) $$ Después de esto, se puede utilizar la técnica de la telescópica.
En tu ejemplo, esta producción: \begin{align} & \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}} = \sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(2k-1)}-\frac{1}{(2k+1)}\right)} \\ &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) \\ &= \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1} \end{align}
martinhans
Puntos
131
Un "camino más fácil", según se solicita.
Si usted sabe (o puede adivinar) la respuesta, entonces usted puede demostrar que $$\frac 1{(2k-1)(2k+1)}=\frac k{2k+1}-\frac {k-1}{2k-1}$$ que le permite completar la suma por telescópica de inmediato, sin necesidad de descomposición en fracciones parciales de la forma tradicional.
