Dos respuestas al problema de la diana

Question

Pregunta general: Dada una diana de radio unitario, ¿cuál es la probabilidad de que un dardo caiga al azar dentro de un círculo de radio 1/3 centrado en la diana?

Respuesta estándar: El dardo se lanza de tal manera que golpea cada punto con la misma probabilidad. La probabilidad de que caiga dentro del círculo interior es el cociente de las áreas de los dos círculos, que es 1/9.

Otra formulación: Supongamos que el dardo se lanza directamente al centro de la diana, pero el viento viene de una dirección aleatoria. Para cualquier dirección del viento, la velocidad del viento empuja el dardo a cierta distancia desde el centro de la diana hasta su perímetro, siendo cada distancia igualmente probable. Cada vector de viento es igualmente probable y, para cada vector, cada distancia es igualmente probable. La probabilidad de estar a menos de 1/3 unidades del centro de la diana es de 1/3.

La definición de aleatoriedad es diferente para cada formulación. En la respuesta estándar, se elige un vector aleatorio del conjunto ${(x,y)\colon \; x^2+y^2 \leq 1}$ y preguntamos la probabilidad de que $x^2 + y^2 \leq \frac{1}{9}$ . En la otra formulación, se elige un vector aleatorio ${(x,y)\colon \; x^2+y^2 = 1}$ y, sobre este vector, una distancia $d$ se elige uniformemente en $[0,1]$ . Preguntamos la probabilidad de que $d\leq\frac{1}{3}$ .

Entiendo las matemáticas para resolver este problema, pero no entiendo intuitivamente por qué estas diferentes concepciones de la aleatoriedad dan dos respuestas diferentes. Parece que ambas son medios válidos para responder a la pregunta general. Intuitivamente, ¿por qué dan respuestas diferentes?

Answer 1

Piensa en el tablero como un filtro - sólo convierte las posiciones en el tablero en un id de un campo que el dardo golpeó. De modo que la salida será sólo una entrada convertida de forma determinista -- y por lo tanto es obvio que la realización diferente de lanzar dardos dará lugar a la distribución de los resultados.
La paradoja en sí es puramente lingüística: "lanzar al azar" parece estar bien, mientras que lo cierto es que se pierde información crucial sobre cómo se realiza el lanzamiento.

Answer 2

Intuitivamente, imaginemos que se modela la segunda formulación de la siguiente manera: se selecciona aleatoriamente un ángulo para la $x$ -eje, llamándolo $\theta$ Entonces, modifique la ubicación del dardo como si cayera uniformemente en un rectángulo muy delgado a lo largo de la línea $y = (\tan\theta) x$ . Aproximadamente, el dardo está en el círculo interior con probabilidad $1/3$ . Sin embargo, cuando considere la colección de todos esos rectángulos finos (dibujarlos, por ejemplo), verá que tienen más área de superposición cerca del centro de la diana, y menos superposición hacia el perímetro de la diana. Esto será más obvio a medida que dibuje los rectángulos cada vez más grandes (aunque la aproximación será peor). A medida que haces los rectángulos más finos, la aproximación mejora, pero se aplica el mismo principio: estás poniendo más área alrededor del centro del círculo, lo que aumenta la probabilidad de acertar el círculo interior.

Answer 3

Me parece que la cuestión fundamental es que los dos escenarios suponen un proceso de generación de datos diferente para la posición de un dardo que da lugar a probabilidades diferentes.

El proceso de generación de datos de la primera situación es el siguiente (a) Se escoge un $x \in U[-1,1]$ y (b) Escoger un $y$ uniformemente con la restricción de que $x^2+y^2 \le 1$ . Entonces la probabilidad requerida es $P(x^2 + y^2 \le \frac{1}{9})= \frac{1}{9}$ .

El proceso de generación de datos de la segunda situación es el descrito en la pregunta: (a) Elegir un ángulo $\theta \in [0,2\pi]$ y (b) Elegir un punto del diámetro que forme un ángulo $\theta$ al eje x. Bajo este proceso de generación de datos la probabilidad requerida es $\frac{1}{3}$ como se menciona en la pregunta.

Tal y como ha expresado mbq, la cuestión es que la frase "cae al azar en la diana" no es lo suficientemente precisa, ya que deja ambiguo el significado de "al azar". Esto es similar a preguntar cuál es la probabilidad de que una moneda salga cara en un lanzamiento aleatorio. La respuesta puede ser 0,5 si suponemos que la moneda es justa, pero puede ser cualquier otra cosa (por ejemplo, 0,8) si la moneda está sesgada hacia la cara.