Que $U = \text{Spec}\,A$ $V = \text{Spec}\,B$ ser abierto afina un esquema $X$ (no necesariamente separados). ¿Cómo demuestro que cada $P \in U \cap V$ allí es una abierta % afín $W$tal que $P \in W$, $W \subseteq U \cap V$, y hay elementos $f \in A$ y $g \in B$ tal que $W$ es igual a $D(f)$ $\text{Spec}\,A$ y $D(g)$ $\text{Spec}\,B$?
Respuesta
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Desde $U \cap V$ está abierto en $U$ existe $f_0 \in A$ tal que $P \in D(f_0)$$D(f_0) \subseteq U \cap V$. Desde $D(f_0)$ está abierto en $V$ existe $g \in B$ tal que $P \in D(g)$$D(g) \subseteq D(f_0)$. Pero ahora $g \in B = \Gamma(V, \mathcal{O}_X)$, por lo que se restringe a un elemento de $\Gamma(D(f), \mathcal{O}_X) = A_f$. Por lo tanto $g = a/f_0^r$ algunos $a \in A$$r \in \mathbb{N}$. Por otra parte, $D(g) = D(a) \cap D(f_0)$ desde un punto de $P \in D(f_0)$ o $V$ se encuentra en $D(g)$ si y sólo si el germen $g_P$ se encuentra en la máxima ideal del anillo local $\mathcal{O}_{X, P}$. Deje $f = af_0$. A continuación,$D(f) = D(a) \cap D(f_0) = D(g)$, y hemos terminado. (Lo $U \cap V$ es cubierto por el común de los principales subconjuntos abiertos.)
