Deje que el radio de la parte superior del vaso se $R$, y vamos a la parte inferior de radio ser $r$ donde $0<r<R$. Deje que la altura del vaso se $h$. El vidrio puede ser extendido a un cono. Vamos a estar trabajando con varios conos, todos similares el uno al otro. Ya no recuerdo la fórmula para el volumen de un cono, utilizamos la escala de los argumentos.
Imagina un cono similar a nuestros conos, pero con la parte superior del radio $1$. Elegir las unidades de volumen, de modo que este top radio de $1$ cono que tiene un volumen de $1$. (Eso está bien, la unidad de volumen necesidad no simplemente con la unidad de longitud. Existe un país donde las distancias se miden en pies pero los volúmenes en galones.)
Si ampliamos nuestro vaso completo de cono, el volumen de esa completa de cono es, por escala, $R^3$. Del mismo modo, la parte del cono que está más allá del cristal que tiene un volumen de $r^3$. Así que el vidrio tiene un volumen de $R^3-r^3$. La mitad de esto es $(R^3-r^3)/2$. Volver a agregar los que faltan $r^3$ que se encuentra más allá del cristal. Llegamos a la conclusión de que el cono de la parte inferior de la mitad del jugo de naranja además de las cosas más allá del cristal que tiene un volumen de
$$\frac{R^3-r^3}{2}+r^3\quad\text{or more simply}\quad \frac{R^3+r^3}{2}.$$
De ello se sigue que cuando exactamente la mitad del jugo de naranja es eliminado de la copa, la parte superior del jugo de naranja es un círculo de radio
$$\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}.$$
Verter el jugo hasta que el radio es justo suena torpe. Así que vamos a trabajar con las alturas. Un triángulo similar argumento muestra que la altura de la "falta" de cono es
$$\frac{hr}{R-r}.$$
Mediante la escala de ello se deduce que la altura de la mitad de jugo de cono es
$$\frac{h}{R-r}\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}.$$
Para obtener el real jugo de naranja altura cuando el vaso está medio lleno, restar la altura de la falta de cono. Tenemos
$$\frac{h}{R-r}\left(\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}-r\right).$$
Nota: los argumentos de Escala son algo infrautilizado en la matemática elemental. Los físicos utilizan más habitualmente.