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Matemáticamente mitad jugo de naranja con mi hermano!

Necesito calcular la altura de un glass(frustum) donde el volumen es la mitad del volumen total. Obviamente, a h/2, volumen no será v/2. Así que mi pregunta es, a qué altura de la parte inferior del vidrio es igual a la mitad del volumen completo de volumen.

Donde llama la atención es el hecho de que 'R (mayor radio)' aumenta la altura.

Gracias,

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Oli Puntos 89

Deje que el radio de la parte superior del vaso se $R$, y vamos a la parte inferior de radio ser $r$ donde $0<r<R$. Deje que la altura del vaso se $h$. El vidrio puede ser extendido a un cono. Vamos a estar trabajando con varios conos, todos similares el uno al otro. Ya no recuerdo la fórmula para el volumen de un cono, utilizamos la escala de los argumentos.

Imagina un cono similar a nuestros conos, pero con la parte superior del radio $1$. Elegir las unidades de volumen, de modo que este top radio de $1$ cono que tiene un volumen de $1$. (Eso está bien, la unidad de volumen necesidad no simplemente con la unidad de longitud. Existe un país donde las distancias se miden en pies pero los volúmenes en galones.)

Si ampliamos nuestro vaso completo de cono, el volumen de esa completa de cono es, por escala, $R^3$. Del mismo modo, la parte del cono que está más allá del cristal que tiene un volumen de $r^3$. Así que el vidrio tiene un volumen de $R^3-r^3$. La mitad de esto es $(R^3-r^3)/2$. Volver a agregar los que faltan $r^3$ que se encuentra más allá del cristal. Llegamos a la conclusión de que el cono de la parte inferior de la mitad del jugo de naranja además de las cosas más allá del cristal que tiene un volumen de $$\frac{R^3-r^3}{2}+r^3\quad\text{or more simply}\quad \frac{R^3+r^3}{2}.$$

De ello se sigue que cuando exactamente la mitad del jugo de naranja es eliminado de la copa, la parte superior del jugo de naranja es un círculo de radio $$\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}.$$ Verter el jugo hasta que el radio es justo suena torpe. Así que vamos a trabajar con las alturas. Un triángulo similar argumento muestra que la altura de la "falta" de cono es $$\frac{hr}{R-r}.$$ Mediante la escala de ello se deduce que la altura de la mitad de jugo de cono es $$\frac{h}{R-r}\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}.$$ Para obtener el real jugo de naranja altura cuando el vaso está medio lleno, restar la altura de la falta de cono. Tenemos $$\frac{h}{R-r}\left(\sqrt[3]{\frac{R^3+r^3}{2}}-r\right).$$

Nota: los argumentos de Escala son algo infrautilizado en la matemática elemental. Los físicos utilizan más habitualmente.

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runeh Puntos 1304

Un enfoque diferente. Su cristal es una sección de un cono, y el volumen de un cono es $\frac \pi 3 r^2h$.

Usted también tiene una relación lineal $h=ar$ entre la altura y el radio (que viene para la geometría de la situación).

El volumen de su vidrio es la diferencia de volumen entre dos conos, uno con un radio de decir $r_1$ (el más pequeño) y el otro $r_2$ (más grande). Poner esto juntos el vidrio tiene un volumen de

$$V =\frac {\pi a} 3 (r_2^3 - r_1^3)$$

Ahora, usted necesita para encontrar el volumen de un arbitrario $r$ - que es de la misma forma como este, y encontrar el valor de $r$ lo que da un volumen $\frac V 2$. Luego hay un poco de trabajo llegar a las alturas en lugar de los radios, y para medir la altura desde la base de la copa, no el vértice del cono.

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Lissome Puntos 31

Puede calcular el volumen de cualquier parte de tu cristal con integración.

Sea $A(t)$ el área de la sección en altura $t$. Que $y_0$ sea la altura del jugo de naranja en el cristal.

Es necesario resolver la siguiente ecuación en $y$:

$$2\int_0^y A(t) dt = \int_0^{y_0} A(t) dt \,.$$

Para el vidrio, la sección es un disco, así que todo lo que necesita es figura de lo que es el radio como función en $t$ e integrar...

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