De la matriz ecuación $(A-\det(A)I)^n=0$

Question

Me di cuenta en esta pregunta que para que una $n\times n$ matriz $A$, la expresión $$(A-\det(A)I)^n=0$$ es un conjunto de $n^2$ ecuaciones en $n^2$ incógnitas. Por lo tanto, es posible determinar plenamente $A$. Es este el caso? ¿Qué podemos decir acerca de $A$?

Lo que puedo decir es que el $A$ sólo tiene un autovalor igual a $\det(A)$ y por lo tanto $$\det(A)=\det(A)^n$$ así que o $\det(A)=0$ o $\det(A)$ $(n-1)$th raíz de la unidad.

Answer 1

$A$ es cualquier matriz con el único valor propio $\lambda$, donde, como usted ha dicho, $\lambda$ es o $0$ o un $n-1$' raíz del th de la unidad. La forma canónica de Jordan de una matriz de tal tiene todas las entradas diagonales $\lambda$ y todas las entradas en la primera diagonal súper en ${0,1}$. Así $A$ es cualquier cosa de la forma $S J S^{-1}$ donde $S$ es una matriz inversible y $J$ es tal una forma canónica de Jordan.

Answer 2

Funciona cualquier matriz con $A^n=0$ y existen infinitamente muchos cuando $n\geq 2$. Por ejemplo, la matriz cero con cualquier número distinto de cero en la parte superior derecha tiene $A^2=0$. Nota en la última ecuación $\mathrm{det}(A)=0$ es una posibilidad.