Esto es algo que me he estado preguntando acerca de. Es decir, siempre he aceptado "por intuición" de que la ecuación
$$ax + by = c$$
es decir, cuando graficar una línea. Usted puede trazar los puntos de $(x, y)$ que satisface la ecuación y ver que sí, que de hecho forman una línea.
Pero cuando encontré este, que me di cuenta era de que yo había aceptado esta idea sin la prueba:
http://www.math.jhu.edu/~wsw/ED/harelfinal.pdf
Hay bastante material en el texto para convencer a los estudiantes empíricamente que una línea en la el plano se representa por una ecuación lineal, y que la gráfica de una ecuación lineal es una recta. Sin embargo, estos dos teoremas fundamentales sobre funciones lineales no se justifica matemáticamente. (pg. 5)
y
Importante teoremas sobre funciones lineales no se prueban. Correspondiente a los dos anteriores los estándares son dos teoremas fundamentales: Una línea en el plano se representa por una ecuación lineal y la gráfica de una ecuación lineal es una recta. Ninguno de estos teoremas se demuestran. (pg. 16)
Que me hizo preguntarme (no he visto los textos) -- ¿ cómo podría usted no sólo de "justificar" este matemáticamente, pero de una manera un estudiante de escuela secundaria iba a entender? Y no sólo eso, sino que, de una manera que en realidad es esclarecedor? Además, esta crítica está dirigida en contra de todos los cuatro geometría de la escuela secundaria/libros de álgebra.
Por ejemplo, considere si estábamos usando, por ejemplo, los axiomas de Hilbert como nuestro axioma establecido para la geometría Euclidiana. A continuación, pudimos demostrar que la ecuación es una línea por algo como esto: buscar los tres puntos a, B, y C de satisfacer de modo que $A * B * C$ (la "intermediación" de la relación), a continuación, mostrar que para cualquier punto de $D$ no $A$ o $B$, entonces uno de $D * A * B$, $A * D * B$, o $A * B * D$ deben tener. Va para otro lado (a la inversa), para mostrar la línea está dada por la ecuación, tendría que demostrar que para todos los puntos a, B, C $A * B * C$, entonces cada punto de $D$ con $D * A * B$, $A * D * B$, o $A * B * D$ satisface una ecuación de la forma $ax + by = c$. Sin embargo, parece que este tipo de prueba es bastante tedioso (usted tiene que comprobar tres casos en los dos consecuencias), y se basa en las funciones cuadráticas y radicales, ya que tienes que usar la fórmula de la distancia ya que es como podríamos definir la "intermediación" relación de tres puntos.
Supongo que los detalles varían con respecto al axioma establece que uso (no sé si de Hilbert, que será necesariamente la mejor para la "geometría de la escuela secundaria"), pero parece que no importa que uno usamos, necesitamos alguna forma de determinar que tres puntos a, B, y C "se encuentran en la misma línea" (que es lo que la "intermediación" relación que hace, aunque lo hace más, ya que también las órdenes de los puntos) y una manera de expresar esto con respecto a coordinatized puntos, así como los puntos en la axiomática de la geometría que el plano de coordenadas de los modelos. Parece que cualquier fórmula que he visto de ese hecho mediante coordenadas Cartesianas requiere de una expresión polinómica cuadrática, para uno. Cualquier prueba a lo largo de estas líneas, parece que sería tedioso, o que requieren de una motivación adicional, y por lo tanto podría no ser esclarecedor en este menor nivel de desarrollo matemático. El "mensaje" parece perderse fácilmente como uno consigue empantanado en la mecánica.
¿Cómo se podría solucionar este problema? ¿Qué es una buena forma de justificar esta en ese nivel?
