Si $x^3+y^3=72$ y $xy=8$ entonces encuentre el valor de $x-y$ .

Question

Hace poco me encontré con una pregunta,

Si $x^3+y^3=72$ y $xy=8$ entonces encuentre el valor de $(x-y)$ .

Por ensayo y error descubrí que $x=4$ y $y=2$ satisface las dos condiciones. Pero en general, ¿cómo puedo resolverlo analíticamente? He intentado utilizar $a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-ab)$ y también $a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$ . Pero ambas formas no están funcionando.

Por favor, explique cómo puedo resolver este tipo de preguntas analíticamente.

Answer 1

Una pista: $$x^3+y^3=72\text{ and }x^3y^3=512.$$

Se conoce la suma, y se conoce el producto de dos cubos.

Los cubos son $\dfrac{72\pm\sqrt{72^2-4\cdot 512}}2$ , $8$ y $64$ .

Answer 2

Dado $$x^3+y^3=72$$ $$xy=8$$ Aviso,

$$(x+y)^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$$ $$(x+y)^3=72+3(8)(x+y)$$ $$(x+y)^3-24(x+y)-72=0$$

Arriba está la ecuación cúbica en términos de $(x+y)$ que tiene una raíz real $6$ Por lo tanto, obtenemos $$x+y=6$$

Ahora, $$(x-y)^2=(x+y)^2-4xy$$ $$(x-y)=\pm\sqrt{(x+y)^2-4xy}$$

$$x-y=\pm\sqrt{(6)^2-4\times8 }$$ $$=\pm\sqrt{4}=\pm 2$$ Por lo tanto, tenemos $$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{x-y=\pm 2}}$$

Answer 3

Puedes resolverlo por fuerza bruta. Escribe $x=8/y$ . La primera ecuación ahora es

$x^3+\frac{512}{x^3}=72$ .

Multiplica ambos lados por $x^3$ y tienes

$x^6+512-72x^3=0$ .

Definir $u\equiv x^3$ y la ecuación se convierte en

$u^2-72u+512=0$ .

Utiliza la fórmula cuadrática para resolver $u$ , resuelve de nuevo para x, y resuelve para y.

Answer 4

Son dos ecuaciones, con dos variables. Podemos hacer lo que siempre hacemos. Se puede escribir $y= 8/x$ y sustituir en la primera ecuación, obteniendo $x^3 + 8^3/x^3 =72.$

A partir de aquí, queremos escribir esto como un polinomio, así que multiplicamos por $x^3$ para que no haya potencias negativas, y luego mover todo a la izquierda. Esto da $x^6-72x^3+512.$ Este es un polinomio bastante grande, pero como todos los exponentes son múltiplos de 3, no todo está perdido. Pondremos $u=x^3$ y obtener $u^2-72u + 512$ . La fórmula cuadrática da la factorización $(u-8)(u-64)=0,$ lo que implica, por supuesto, que $u=8$ o que $u=64$ .

Ahora sólo tenemos que pasar por la sustitución en $u$ . Escribimos $x^3 = 8$ o $x^3 = 64$ . Sólo hay una raíz cúbica cuando se trata de números reales, por lo que tenemos $x=2$ o $x=4$ . Si $x=2$ entonces tenemos $y=8/2=4$ . Si $x=4$ entonces tenemos $y=8/4=2$ .

Así que hay dos soluciones, según el caso. O bien $x-y = 2$ o $x-y=-2$ dependiendo del par de soluciones con el que se trabaje.

Answer 5

Si conoces las formas básicas de las curvas $xy=c$ (una hipérbola centrada en el origen con ejes diagonales) y $x^3+y^3=c$ (para $c$ positivo, algo así como una curva de campana inclinada 45 grados en el sentido de las agujas del reloj) entonces está claro que puede haber exactamente dos soluciones, exactamente una solución o ninguna solución. No es tan descabellado tropezar con $(2,4)$ y $(4,2)$ como soluciones, y entonces la visual confirma que no puede haber más.

Si quiere ser más formal con este enfoque, podría establecer que

• sólo en el primer cuadrante están presentes ambas curvas
• en el primer cuadrante, ambas curvas son decrecientes como $x$ aumenta
• en el primer cuadrante, una curva es cóncava hacia abajo mientras que la otra es cóncava hacia arriba

Esto es suficiente para establecer que sólo podría haber $0$ , $1$ o $2$ soluciones. Desde $(2,4)$ y $(4,2)$ encaja en la factura, ya está hecho.