Integral define una medida de Radon

Question

Supongamos que $\mu$ es una medida de Radon en $X$. Si $\phi\in L^{1}(\mu)$ y $\phi\geq 0$, muestran que $\nu(E)=\int_{E}\phi\;d\mu$ es una medida del radón.

$\nu$ es una medida finita así que sólo tenemos que comprobar las condiciones de regularidad. Estaba mostrando la regularidad externa de todos los conjuntos de Borel y lo hice para conjuntos con finito $\mu$-medida. No estoy seguro sobre el argumento para conjuntos con infinitos $\mu$-medida. Además de regularidad interna en sistemas abiertos.

Answer 1

Supongo que ${E_n : n \geq 1}$ es una familia máxima de pares separada medida positiva compacto subconjuntos de $X$. $Y = X \backslash \bigcup {E_n : n \geq 1}$ Debe ser $\mu$-null en caso contrario podemos añadir un subconjunto compacto de medida positiva de $Y$ a nuestra familia. ¿No muestra esto que $\mu$ debe ser sigma finito?

Edit: Esto es erróneo en eso como una familia máxima puede ser incontable.

Answer 2

Esto es sólo una elaboración de Martin astuto comentario anterior:

Deje $N = \phi^{-1} \{0 \}$. A continuación,$\nu A = \nu (A \setminus N)$. Además, $N^c = \cup_k \Delta_k$ donde $\Delta_k = \phi^{-1} (\frac{1}{k}, \infty)$.

Podemos enlazado $\mu \Delta_k$ como sigue: $\|\phi\|_1 \ge \nu \Delta_k = \int_{\Delta_k} \phi d \mu \ge \frac{1}{k} \mu \Delta_k$, y por lo $\mu \Delta_k \le k \|\phi\|_1$.

Tenemos $A \setminus N = \cap_k (A \cap \Delta_k)$, y desde $\Delta_k$ está en aumento, tenemos $\nu (A \cap \Delta_n) \to \nu(\cap_k (A \cap \Delta_k))$.

Deje $\epsilon>0$, a continuación, elija $n$ tal que $\nu(\cap_k (A \cap \Delta_k)) - \nu (A \cap \Delta_n)< \frac{\epsilon}{2}$.

Ahora necesitamos aproximar $A \cap \Delta_n$ por un conjunto compacto. Desde $\mu$ es una medida de Radón, existe una secuencia de conjuntos compactos $C_k \subset A \cap \Delta_n$ tal que $\mu C_k \to \mu (A \cap \Delta_n)$. Sin pérdida de generalidad (finito uniones de conjuntos compactos son todavía compacto) podemos asumir que el $C_k$ están aumentando. Tenemos $\mu((A \cap \Delta_n) \setminus \cup_k C_k) = 0$, por lo tanto $1_{C_k}(x) \to 1_{A \cap \Delta_n}(x)$.e. [$\mu$]. Desde $1_{C_k}(x) \le 1$, el teorema de convergencia dominada da $\int_{C_k} \phi d \mu \to \int_{A \cap \Delta_n} \phi d \mu $. De ahí que para algunos $k$,$\int_{A \cap \Delta_n} \phi d \mu - \int_{C_k} \phi d \mu < \frac{\epsilon}{2}$, y así \begin{eqnarray} \nu A &=& \nu (A \setminus N) \\ &=& \nu ( \cap_k (A \cap \Delta_k)) \\ &<& \nu (A \cap \Delta_n) + \frac{\epsilon}{2} \\ &=& \int_{A \cap \Delta_n} \phi d \mu + \frac{\epsilon}{2} \\ &<& \int_{C_k} \phi d \mu + \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} \\ &=& \nu C_k + \epsilon \end{eqnarray} Por lo tanto $\nu A = \sup \{ \nu C | C \subset A, C \text{ compact} \}$. $\nu$ está delimitado por $\nu X = \|\phi\|_1$, por lo tanto es localmente finito, y por lo $\nu$ es una medida de Radón.

Si desea obtener exterior regularidad, vamos a $A$ ser un conjunto de Borel, y deje $C_k \subset A^c$ ser una secuencia de conjuntos compactos tales que $\nu C_k \to \nu A^c$. Ahora vamos a $U_k = C_k^c$. A continuación, $U_k$ es abierto y $A \subset U_k$. Desde $\nu$ es finito, tenemos $\nu X = \nu A + \nu A^c = \nu U_k + \nu C_k$. De ello se desprende que $\nu U_k \to \nu A$. De ello se desprende que $\nu A = \inf \{ \nu U | A \subset U, U \text{ open} \}$, por lo tanto $\nu$ es exterior regular.