Hace $A$ contienen un conjunto de medida positiva que es simétrica respecto a $(a+b)/2$ ?

Question

Dejemos que $A \subset [a,b]$ con $m(A)>\dfrac 12 (b-a)$ , donde $m$ es la medida de Lebesgue . Entonces, ¿es cierto que $A$ contiene un subconjunto de medida positiva que es simétrico respecto a $(a+b)/2$ ?

( decimos que un subconjunto $S$ de la línea real es simétrica respecto a un número real $c$ si $c+x \in S \iff c-x \in S$ )

Mi idea era como tomar $T:=\{x \in [a,b] : x+(a+b)/2 , (a+b)/2-x \in A\}$ y luego tomar $B:=(\dfrac {a+b}2 +T) \cup (\dfrac {a+b}2 -T)$ definitivamente $B$ es el mayor conjunto simétrico en torno a $(a+b)/2$ en $A$ . Pero no sé cómo conseguir el conjunto requerido desde aquí . Por favor, ayúdenme. Gracias de antemano

Answer 1

Para simplificar las ideas, consideremos el intervalo $[-1/2,1/2].$ Supongamos que $A$ es un subconjunto medible de $[-1/2,1/2]$ con $m(A)> 1/2.$ Entonces $-A$ es un subconjunto medible de $[-1/2,1/2],$ y $m(-A) = m(A).$

Dejemos que $B = A\cap (-A).$ Si mostramos $m(B) > 0,$ hemos terminado, ya que $B$ es simétrica respecto a $0.$

Supongamos por el contrario que $m(B)=0.$ Entonces $A\setminus B$ y $(-A)\setminus B$ son disjuntos y medibles, y cada uno tiene medida $m(A).$ Así,

$$1= m([-1/2,1/2]) = m([-1/2,1/2]\setminus B) \ge m(A\setminus B)+ m((-A)\setminus B)$$ $$= m(A) + m(-A) > 1/2+1/2 =1,$$

contradicción.