Aprendiendo sobre las álgebras de Hopf

Question

Acabo de ver el tensor de la álgebra de la Mentira de álgebra. Deje $\mathfrak{g}$ ser una Mentira álgebra, y deje $T(\mathfrak{g})$ ser su tensor de álgebra.

Me han dicho que este es un álgebra de Hopf con subproducto $\Delta(x)=x\otimes 1 + 1\otimes x$. Esto me confunde.

El tensor de álgebra es $T(\mathfrak{g})=\Bbb C\oplus \mathfrak{g}\oplus (\mathfrak{g}\otimes \mathfrak{g})\oplus \cdots$.

Aprovecho entonces, que $T(\mathfrak{g})\stackrel{\Delta}{\longrightarrow} T(\mathfrak{g})\otimes T(\mathfrak{g})$.

De modo que $x\otimes 1$ vive en $T^1(\mathfrak{g})\otimes T^0(\mathfrak{g})$$1\otimes x \in T^0(\mathfrak{g})\otimes T^1(\mathfrak{g})$.

Pero yo debo tener cuidado:

1. Hay un isomorfismo $(A\oplus B)\otimes C \cong (A\otimes C) \oplus (B\otimes C)$ y lo mismo para la izquierda tensores. Pero esto era para $R$-los módulos donde se $R$ es un anillo conmutativo. Cada una de las $\mathfrak{g}^{\otimes n}$ puede ser tratada como $\Bbb C$-los módulos, así que supongo que puedo usar esta aquí?
2. Anteriormente era finito, aunque. ¿Puedo obtener una similar distributividad por la infinidad de términos en la suma directa de caso?
3. Puedo deducir que $T(\mathfrak{g})\otimes T(\mathfrak{g})= \displaystyle\bigoplus_{i+j=d, \,\, d\in \Bbb Z^+_0}( T^i(\mathfrak{g})\otimes T^j(\mathfrak{g}))$ (quiero decir, es esto cierto, en lugar de; hace inmediatamente después de la anterior)

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Podemos decir $T(\mathfrak{g})$ es un 'Hopf-álgebra' porque tiene mapps fuera de sí mismo en forma particular. Esto no significa que decir $\Delta(x)$ es en el álgebra de hopf o cualquier cosa a la derecha? Es, simplemente, que tiene una agradable estructura con respecto a los mapas fuera de sí mismo?

Answer 1

Creo que podría ser la partida en la dirección incorrecta para entender esta definición, así que voy a explicar una forma de interpretar. No voy a usar ninguna información acerca de álgebras de Lie, así que vamos a $V$ ser un espacio vectorial. Quiero definir un mapa $$\Delta: T(V) \to T(V) \otimes T(V)$$ tal que para todos los $x \in V$, $$\Delta(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x$$ y de alguna manera "extender esto a todos los de $T(V)$". Aquí es lo que se pretende mediante esta:

1. Si $A$, $B$ son álgebras, a continuación, $A \otimes B$ se convierte en un álgebra con el producto $(a_1 \otimes b_1)(a_2 \otimes b_2) = a_1 a_2 \otimes b_1 b_2$.
2. $T(V)$ es universal en el sentido de que cualquier lineal mapa de $V \to A$ (donde $V$ es un espacio vectorial y $A$ es un álgebra) se extiende únicamente a un mapa de álgebras de $T(V) \to A$.
3. Tomar el mapa $d: V \to T(V) \otimes T(V)$, $d(x) = x \otimes 1 + 1 \otimes x$ y extender el uso de punto (2), donde: $T(V) \otimes T(V)$ es tratado como un álgebra a través de un punto (1).

Después de esto, usted necesita para comprobar que $\Delta$ realmente hace lo que debe en el álgebra de Hopf: juega bien con el counit, es coassociative, etc.

Estas definiciones son muy fáciles de usar. Por ejemplo, si $x, y \in V$, entonces podemos encontrar que

$$\begin{aligned} \Delta(xy) &= \Delta(x) \Delta(y) & \text{Since %#%#% is a map of algebras}\\ &= (x \otimes 1 + 1 \otimes x)(y \otimes 1 + 1 \otimes y) \\ &= xy \otimes 1 + x \otimes y + y \otimes x + 1 \otimes xy & \text{By algebra structure on %#%#%} \end{aligned}$$