¿Es un mapa de biyectiva continua con el mismo dominio y rango de un Homeomorfismo?

Question

¿Para una función continua biyectiva de $\Bbb R$ $\Bbb R$ es un Homeomorfismo, podemos nosotros generalizarlo?

Answer 1

Que $c_{00}$ ser el espacio de todas las secuencias $(xn){n\in\mathbb N}$ de números complejos tales que $n\gg0\implies x_n=0$. Aquí, considerar la distancia $$d\bigl((xn){n\in\mathbb N},(yn){n\in\mathbb N}\bigr)=\max_{n\in\mathbb N}|x_n-yn|.$$Finally, define$$\begin{array}{rccc}f\colon&c{00}&\longrightarrow&c_{00}\&(xn){n\in\mathbb N}&\mapsto&\left(\dfrac{xn}n\right){n\in\mathbb N}.\end{array}$$Then $f $ is bijective and continuous. However, $f ^ {-1} $ is discontinuous, and therefore $f$ es no un Homeomorfismo.

Answer 2

Si elegimos el dominio R con la topología discreta y gama también R con la topología estándar función de la identidad es un bijection continuo pero no un Homeomorfismo.