Convexidad de $x^a e^{-x}$

Question

Este es un cálculo de la tarea. Dado que es

$$f(x)=x^a e^{-x}$$

donde $x \in ]0;\infty[$ $a \lt 0$, $x \in [0;\infty[$ para $a \geq 0$.

La tarea es primero encontrar locales o globales mínimos y máximos en función de una, y luego decidir sobre la convexidad de f, de nuevo dependiendo de la una. $0^0$ se define como 1.

He mirado en varias propiedades, no todos de ellos inmediatamente relevantes para las preguntas de arriba, con la esperanza de entender esta bastante compleja función mejor. Voy a tomar nota de mis principales resultados a continuación.

Desde $x=0$ es una frontera, estoy interesado en el comportamiento de $f$ no.

$f(0)=0$ $a \neq 0$

$f(0)=1$ $a = 0$

$\lim\limits_{x \rightarrow +0}{\frac{x^a}{e^x}} = 0$ $a \geq 0$

$\lim\limits_{x \rightarrow +0}{\frac{x^a}{e^x}} = 0$ $a \lt 0$

Para x grande:

$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty}{\frac{x^a}{e^x}} = 0$ , independientemente de $a$.

Mínimos/máximos de funciones continuas necesidad de tener $f'(x)=0$:

$f'(x) = (a-x)x^{a-1}e^{-x}$

$ f'(x) = 0 \Leftrightarrow (a-x)x^{- 1}e^{-x} = 0 \Leftrightarrow a = x $

En $x=0$:

$ f'(0) = \lim\limits_{x \rightarrow +0}\frac{x^a/e^x - 0^a/e^0}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow +0}\frac{x^{- 1}}{e^x} $

que es de 1 $a=1$, 0 $a \geq 1$ y $+\infty$, $0 \lt a \lt 1$ y $-\infty$$a=0$.

Para convexidad, también se $f''(x)$ es interesante:

$f''(x) = \frac{a(a-x)x^{a-2} - ax^{a-1}}{e^{2x}}$

$ f"(x)=0 \Leftrightarrow un(a-1)x^{- 2}=ax^{- 1} \Leftrightarrow (a-1)=x $

Sin embargo, la comparación de este con wolframalpha, no parece haber grandes diferencias en casi todas partes. Estoy muy seguro de si mis resultados son correctos. Estoy, en particular, confundido por el impacto de $0^0$ o $0^{-0}$ en algunas de las ecuaciones, lo que me llevó a pensar que me he tomado un completamente equivocado enfoque a este problema.

He intentado $ln f(x)$, con la esperanza de encontrar algo más fácil de trabajar, pero fue en vano.

(Como no estoy muy familiarizado con ninguno de látex ni las etiquetas de aquí, por favor siéntase bienvenido a editar este post.)

Answer 1

Informático, erróneamente, de la segunda derivada.

La función dada es $$f(x)=x^ae^{-x}.$$ Por lo tanto $$f'(x)=ax^{a-1}e^{-x}-x^ae^{-x}$$ y así $$ f"(x)=a(a-1)x^{- 2}e^{-x}-2ax^{- 1}e^{-x}+x^ae^{-x}= x^{- 2}e^{-x}(a^2-a-2ax+x^2) $$ No vamos a molestar con $x=0$, por el momento. Cuando es la segunda derivada positiva? Exactamente cuando $$ x^2-2ax+a^2-a>0 $$ El (reducido) discriminante de esta ecuación cuadrática es $a^2-a^2+a=a$. Por lo tanto, si $a<0$, la segunda derivada es positiva para todos los $x>0$, y la función es convexa.

Si $a=0$, la función es $f(x)=e^{-x}$, que es convexa.

Si $a>0$, las raíces de la ecuación cuadrática son $$ a-\sqrt{a}\quad\text{y}\quad+\sqrt{a} $$ Si $a\le1$, el más pequeño de la raíz es negativo, por lo que la función es cóncava en a $(0,a+\sqrt{a}$ y convexo $(a+\sqrt{a},\infty)$. Si $a>1$, entonces la función es cóncava en a $(a-\sqrt{a},a+\sqrt{a})$ y convexo en la otra parte del dominio.

Aquí está un gráfico de $a=-0.1$

Aquí está un gráfico de $a=0.5$, tenga en cuenta la flexión acerca de $x=0.64$

Aquí está un gráfico de $a=3$, donde los dos se flexiona son evidentes