Si $X$ es una distribución de Poisson con media $\lambda$ cómo es $X^2$ ¿distribuido? Cualquier explicación sería muy apreciada.
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Su título estaría mejor redactado como "Si $X$ es una variable aleatoria con distribución de Poisson y media $\lambda$ ¿Cómo es que $X^2$ distribuido" o "Si $X$ tiene una distribución de Poisson con media $\lambda$ ¿Cómo es que $X^2$ distribuido".
No creo que se pueda decir mucho más allá del hecho de que $\Pr(X^2 = x^2) = \dfrac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ .
Una cosa de posible interés es que $\operatorname{E}(X^2) = \lambda+\lambda^2.\,$ Esto es un ejemplo de un patrón: $$ \begin{align} \operatorname{E}(X^3) & = \lambda + 3\lambda^2 + \lambda^3 \\ \operatorname{E}(X^4) & = \lambda + 7\lambda^2 + 6 \lambda^3 + \lambda^4 \\ \operatorname{E}(X^5) & = \lambda + 15\lambda^2 + 25 \lambda^3 + 10\lambda^4 + \lambda^5 \\ & \,\,\, \vdots \end{align} $$ El coeficiente de $\lambda^k$ en la expansión de $\operatorname{E}(X^n)$ es el número de ( un -ordenadas) de un conjunto de tamaño $n$ en $k$ partes. Es decir, es $\left\{\begin{array}{c} n \\ k \end{array}\right\} = {}$ a Número de Stirling del segundo tipo . Son los llamados "polinomios exponenciales" o "Polinomios de Touchard" .
