¿Qué pasa con mi método de combinatoria?

Question

Supongamos que quiero seleccionar un equipo de $7$ de un grupo de $10$ de $A$ , $8$ de $B$ y $5$ de $C$ . Sin embargo, quiero asegurarme de tener al menos uno de cada grupo.

Mi idea era hacer lo siguiente $$10 \times 8 \times 5 \times \binom{20}{4}$$

el $10$ , $8$ y $5$ son elegir a un miembro de cada equipo, que tiene "garantizada" una plaza. La página web $\binom{20}{4}$ es elegir el resto de $4$ miembros del equipo de la reserva restante de $20$ personas.

El problema es que este valor es mayor que $\binom{23}{7}$ que debe ser el mayor valor posible.

Answer 1

Creo que para esto hay que utilizar la inclusión/exclusión. Entonces se obtiene

$${23\choose 7}-\left({13\choose 7}+{15\choose 7}+{18\choose 7}\right)+\left({{10\choose 7}+{8\choose 7}+0}\right)=205\ 310.$$

Así, los términos del medio son los casos en los que nadie es de A, B o C respectivamente, y los términos de la derecha son los casos en los que nadie es de B o C, A o C, o A o B respectivamente.