Cómo expresar$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ en términos de la base para$\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$

Question

Ya he mostrado ese$\sqrt{2-\sqrt{2}}\in\mathbb{Q}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$ pero quiero escribir$\sqrt{2-\sqrt{2}}=a+b\alpha+c\alpha^2+d\alpha^3$ donde$\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2}}$. Al cuadrar$\sqrt{2-\sqrt{2}}$ obtengo un sistema de cuatro ecuaciones con cuatro variables, pero todo lo que intento (Sage, por ejemplo) toma demasiado tiempo para resolverlo. ¿Hay una forma más sencilla de escribirlo en términos de la base?

Answer 1

Primero observa que$$ \sqrt{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\alpha}=\frac{\alpha^2-2}{\alpha}=\alpha-\frac{2}{\alpha}$ $

A continuación, el polinomio mínimo para$\alpha$ es$f(x)=x^4-4x^2+2$, por lo tanto,$$ -\frac{2}{\alpha}=\alpha^3-4\alpha$ $ y, por lo tanto,$$ \sqrt{2-\sqrt{2}}=\alpha+(\alpha^3-4\alpha)=\alpha^3-3\alpha$ $

Answer 2

Hay un truco de trigonometría para este caso en particular.

Dejar $\alpha=\sqrt{2+\sqrt{2}}$; entonces $$ \ alpha = 2 \ sqrt {\ frac {1+ \ sqrt {2} / 2} {2}} = 2 \ cos \ frac {\ pi} {8} $$ mientras que $$ \ beta = \ sqrt {2- \ sqrt {2}} = 2 \ sqrt {\ frac {1- \ sqrt {2} / 2} {2}} = 2 \ sin \ frac {\ pi} {8} = 2 \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} - \ frac {\ pi} {8} \ right) = 2 \ cos \ frac {3 \ pi} {8} $$ Ahora $$ \ cos3t = 4 \ cos ^ 3t -3 \ cos t $$ so $$ \ beta = 2 \ left (4 \ frac {\ alpha ^ 3} {8} -3 \ frac {\ alpha} {2} \ right) = \ alpha ^ 3-3 \ alpha $$

Answer 3

$$ \begin{align} \dfrac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}\, &=\, 3-2\sqrt 2\,=\, (\sqrt 2 - 1)^{\large 2}\\[.5em] \Rightarrow\ \sqrt{2-\sqrt2} \,&=\, \sqrt{2+\sqrt2}\,\ \Big(\sqrt 2\, -\, 1\Big)\\ &=\,\sqrt{2+\sqrt2}\left(\sqrt{2+\sqrt 2}^{\large \,2}-3\right)\\[.1em] &=\qquad\qquad\! \alpha\ (\alpha^{\large 2}\ -\ 3) \end {align} $$