I valores de conjunto como el alborotaban de un cierto diagrama de functors representables

Question

Teorema 1. la sección 7 del capítulo III(página 76), de Maclane categorías para el trabajo de los matemáticos, dice cualquier functor $K:\mathcal{D}\rightarrow Set$ puede ser representado como la colimit de un cierto diagrama de representable functors. Estoy un poco confundido acerca de este diagrama, que en Maclane prueba está dada por $$J ^ \mathcal{D}\rightarrow Set^\mathcal{D}$$ where $J$ is the category of elements of $K$ (or $1 \downarrow K)$. What mkes me confused is that this functor is defined by $\left(d,x\right) \mapsto x$, where $d$ is an object of $\mathcal{D}$ and $x:* \rightarrow Kx$.

En primer lugar, me gustaría preguntar ¿qué es esto diagrama de representable functors que puede recuperar las $K$.

En segundo lugar, me gustaría saber lo que es el dual de este teorema (que, supuestamente, establecer una equivalencia de cualquier contravariante conjunto de valores de functor con un límite de ciertas diagrama de representable functors)

Answer 1

Hay un error tipográfico en Maclane. No $J^D$, pero $J$ o, más precisamente, $J^{op}$(o debemos decir que $M$ es contravariante).

Deje $D$ ser un local pequeño de la categoría, $K\colon D\to\mathbf{Set}$ ser un functor. Categoría de elementos de $K$ es de la coma categoría $(*\downarrow K)$. Existe un natural de proyección: $$ pr\colon(*\downarrow K)\a D, $$ que envía cada par $(d,x)\in(*\downarrow K)$ al objeto de $d\in D$. Usted puede también considerar es doble: $$ pr^{op}\colon(*\downarrow K)^{op}\D^{op}. $$ Otro functor necesitamos - Yoneda functor: $$ Y\colon D^{op}\\mathbf{Set}^{D}, $$ que manda a cada objeto $d\in D$ a lo representable functor $hom_D(d,-)$. Ahora podemos tomar la composición: $$ (*\downarrow K)^{op}\xrightarrow{pr^{op}}D^{op}\xrightarrow{Y}\mathbf{Set}^{D}. $$ Por lo tanto, tenemos el functor $M=Y\circ pr^{op}$: $$ (*\downarrow K)^{op}\xrightarrow{M}\mathbf{Set}^D. $$ Existe una cocone $\varphi\colon M\to\Delta_K$, de tal manera que $\varphi(d,x)=\alpha_x$ donde $\alpha_x$ es la imagen de $x$ por el Yoneda-lema-isomorfismo $K(d)\cong Nat(hom_D(d,-),K)$. Es un ejercicio para comprobar que cocone $\varphi$ es limitante, y, en consecuencia, $K$ es el colimit de $M$.

Podemos ver que $M(d,x)$ es representable functor para cualquier $(d,x)\in(*\downarrow K)$. Por lo tanto, functor $K$ es un colimit de un "diagrama de representable functors".