¿Cuál es la transformada inversa de Laplace de mi ecuación?

Question

¿Cuál es la transformada de Laplace inversa de L (s) =$exp⁡[-(1/2)sI]$ *$I_0[(1/2)sI]$, donde$I_0$ es la función de bessel modificada de primer tipo?

Me dicen que la respuesta es$\frac{1}{π}$$\left(\frac{1}{(sI-s^2)}\right)^\frac{1}{2}$ pero estoy luchando para lograr esta respuesta.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Bien, estamos mirando a la inversa de la transformada de Laplace de:

$$\text{y}_{\space\text{n}}\left(t\right):=\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\exp\left(-\text{n}\cdot\text{s}\right)\cdot\mathcal{I}_{\space0}\left(\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(t\right)}\tag1$$

Donde $\mathcal{I}_{\space\text{p}}\left(\text{z}\right)$ es la función modificada de Bessel de primera especie.

Ahora, usando el teorema de convolución, de la transformada de Laplace, podemos escribir:

$$\text{y}_{\space\text{n}}\left(t\right)=\int_0^t\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\mathcal{I}_{\space0}\left(\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(\tau\right)}\cdot\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\exp\left(-\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(t-\tau\right)}\space\text{d}\tau\tag2$$

El uso de la tabla seleccionada de las transformadas de Laplace, podemos escribir:

$$\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\exp\left(-\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(t-\tau\right)}=\delta\left(t-\tau-\text{n}\right)\tag3$$

Donde $\delta\left(x\right)$ es la función Delta de Dirac.

Así, podemos reescribir la ecuación de $\left(2\right)$ como sigue:

$$\text{y}_{\space\text{n}}\left(t\right)=\int_0^t\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\mathcal{I}_{\space0}\left(\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(\tau\right)}\cdot\delta\left(t-\tau-\text{n}\right)\space\text{d}\tau\tag4$$

Utilizando la definición de la función modificada de Bessel de primera especie, podemos escribir:

$$\mathcal{I}_{\space0}\left(\text{n}\cdot\text{s}\right)=\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{1}{\text{k}!}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\text{k}\right)}\cdot\left(\frac{\text{n}\cdot\text{s}}{2}\right)^{2\text{k}}\tag5$$

Donde $\Gamma\left(\text{s}\right)$ es la función Gamma.

Así que el uso de la tabla seleccionada de las transformadas de Laplace, podemos escribir:

$$\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\mathcal{I}_{\space0}\left(\text{n}\cdot\text{s}\right)\right]_{\left(\tau\right)}=\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{1}{\text{k}!}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\text{k}\right)}\cdot\mathscr{L}_\text{s}^{-1}\left[\left(\frac{\text{n}\cdot\text{s}}{2}\right)^{2\text{k}}\right]_{\left(\tau\right)}=$$ $$\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{1}{\text{k}!}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\text{k}\right)}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(-2\text{k}\right)}\cdot\left(\frac{\text{n}}{2}\right)^{2\text{k}}\cdot\frac{1}{\tau^{1+2\text{k}}}\tag6$$

Ahora, podemos reescribir la ecuación de $\left(4\right)$ como sigue:

$$\text{y}_{\space\text{n}}\left(t\right)=\int_0^t\left\{\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{1}{\text{k}!}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\text{k}\right)}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(-2\text{k}\right)}\cdot\left(\frac{\text{n}}{2}\right)^{2\text{k}}\cdot\frac{1}{\tau^{1+2\text{k}}}\right\}\cdot\delta\left(t-\tau-\text{n}\right)\space\text{d}\tau=$$ $$\sum_{\text{k}=0}^\infty\frac{1}{\text{k}!}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(1+\text{k}\right)}\cdot\frac{1}{\Gamma\left(-2\text{k}\right)}\cdot\left(\frac{\text{n}}{2}\right)^{2\text{k}}\int_0^t\frac{\delta\left(t-\tau-\text{n}\right)}{\tau^{1+2\text{k}}}\space\text{d}\tau\tag7$$

Al $\text{n}>0\space\wedge\space\text{k}\ge0\space\wedge\space t\ge0$, podemos escribir:

$$\int_0^t\frac{\delta\left(t-\tau-\text{n}\right)}{\tau^{1+2\text{k}}}\space\text{d}\tau=\frac{2\cdot\theta\left(t\right)-1}{\left(t-\text{n}\right)^{1+2\text{k}}}\cdot\theta\left(t-\text{n}-t\cdot\theta\left(-t\right)\right)\cdot\theta\left(\text{n}-t+t\cdot\theta\left(t\right)\right)\tag8$$

Donde $\theta\left(\text{a}\right)$ es la función escalón unitario.

Answer 2

Esto es bastante sencillo si uno escribe

PS

Entonces, dejando$$I_0(z) = \frac1{\pi} \int_{-1}^1 dv \, (1-v^2)^{-1/2} \, e^{z v} $,

PS

Dicho esto, tenga en cuenta que para el argumento de la función delta dentro de$a=I/2 \gt 0$ - integral a desaparecer,$$\begin{align} f(t) &= \frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, I_0(a s) e^{(t-a) s}\\ &= \frac1{\pi} \int_{-1}^1 dv \, (1-v^2)^{-1/2} \frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, e^{(t-a+a v)s} \\ &= \frac1{\pi} \int_{-1}^1 dv \, (1-v^2)^{-1/2} \delta(a v+t-a) \\ &= \frac1{\pi a} \left (1- \left (1-\frac{t}{a} \right )^2 \right )^{-1/2} \\ &= \frac1{\pi} (2 a t-t^2)^{-1/2} \end{align} $. Notando que definí$v$, el ILT para la transformada de Laplace dada es

PS