¿Existe un enfoque más simple para esta aplicación de la convergencia dominada?

Question

Para una teoría de la medida de la clase, estoy tratando de evaluar:

$$\lim_{n\to\infty}\int^\infty_1\frac 1 {nx} e^{-x/n}\ \text d\lambda$$

Obviamente quiero intentar mover el límite a través de la integral y a la conclusión de que el límite es de $0$, así que tengo que mostrar esta secuencia de funciones es cada vez mayor (convergencia monótona), o dominarlo (dominado convergencia). Me decidí a probar y dominar, pero mi método se siente un poco rotonda.

Fix $x$ e ver $\frac 1 {nx} e^{-x/n}$ como una función en $n$. La derivada es:

$$e^{-x/n}\left(\frac 1 {n^3} - \frac 1 {xn^2} \right)$$

Ahora es fácil demostrar que esta solo tiene un máximo global en $n=x$. Por lo tanto puedo concluir (creo) que $\frac 1 {e x^2}$ es mayor que cada uno de los integrands y aplicar así los PMA.

Answer 1

Indirecta: $\lim_{n\to\infty}\int^\infty1\frac 1 {nx} e ^ {-x / n} \ \text dx = \lim{n\to\infty}\int^1{0}\frac 1 {nu} e ^ {-1/nu} \ \text du = \lim{n\to\infty}\frac 1n\int ^ n_ {0} \frac 1 {v} e ^ {-1/v} \ \text dv $$

Ahora utilice el hecho eso si $f\sim g>0$ y $ \int_0^\infty f = \infty \implies \int_0^n f \sim \int_0^n g $$