Cómo encontrar este límite$\lim_{x\to 1}\frac{f(2001)-f(2002)}{f(2002)-f(2003)}$

Question

Deje$$f(m)=\dfrac{m+1}{\dfrac{m+m+1}{\dfrac{m}{1-x^{m}}-\dfrac{m+1}{1-x^{m+1}}+\dfrac{1}{2}}+\dfrac{m+1+m+2}{\dfrac{m+1}{1-x^{m+1}}-\dfrac{m+2}{1-x^{m+2}}+\dfrac{1}{2}}}$ $

Encuentra este límite$$I=\lim_{x\to 1}\dfrac{f(2001)-f(2002)}{f(2002)-f(2003)}$ $

Mi intento: desde su uso (la regla de L'Hôpital） tenemos \begin{align*}&\lim_{x\to 1}\left(\dfrac{n}{1-x^n}-\dfrac{n+1}{1-x^{n+1}}\right)\\ &=\lim_{x\to1}\dfrac{n(1-x^{n+1})-(n+1)(1-x^n)}{(1-x^n)(1-x^{n+1})}\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{n-nx^{n+1}-n-1+(n+1)x^n}{1-x^n-x^{n+1}+x^{2n+1}}\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{-n(n+1)x^n+n(n+1)x^{n-1}}{-(n+1)x^n-nx^n+（2n+1)x^{2n}}\\ &=\lim_{x\to 1}\dfrac{-n^2(n+1)x^{n-1}+n(n-1)(n+1)x^{n-2}}{-n(n+1)x^{n-1}-n^2x^{n-1}+2n(2n+1)x^{2n-1}}\\ &=\dfrac{n(n+1)[n-1-n]}{-n^2-n-n^2+4n^2+2n}=-\dfrac{1}{2} \end {align *} Este problema es creado por un profesor de China, Universidad de Zhejiang, se dice que el profesor quiere Floored la arrogancia de los estudiantes.

entonces no puedo, gracias

Answer 1

Dejemos$x = 1-z$, tenemos

$$ \begin{align} \frac{m}{1-x^m} &= \frac{m}{1-(1-z)^m}\\ & = \frac{m}{1 - \left(1 - mz + \frac{m(m-1)}{2}z^2 - \frac{m(m-1)(m-2)}{6}z^3 + O(z^4)\right)}\\ & = \frac{1}{z - \frac{m-1}{2}z^2 + \frac{(m-1)(m-2)}{6}z^2 + O(z^3)}\\ & =\frac{1}{z}\left[ 1 - \left( -\frac{m-1}{2}z + \frac{(m-1)(m-2)}{6}z^2\right) + \left(\frac{m-1}{2} z\right)^2 + O(z^3)\right]\\ &= \frac{1}{z} + \frac{m-1}{2} + \frac{m^2-1}{12}z + O(z^2) \end {align} $$ So $$ \begin{align} &\frac{m}{1-x^m} - \frac{m+1}{1-x^{m+1}} + \frac12\\ =& \left(\frac{1}{z} + \frac{m-1}{2} + \frac{m^2-1}{12}z\right) - \left(\frac{1}{z} + \frac{m}{2} + \frac{m^2-2m}{12}z\right) + \frac12 + O(z^2)\\ =&-\frac{2m+1}{12} z + O(z^2) \end {align} $$ Esto nos da $$ f (m) = \ frac {m +1} {\ frac {2m +1} {- \ frac {2m +1} {12} z + O (z ^ 2)} + \ frac {2m +3} {- \ frac {2m +3} {12} z + O (z ^ 2)} } = - \ frac {m +1} {24} z + O (z ^ 2) $$ y por lo tanto $$ \ lim_ {x \ a 1} \ frac {f (2001) -f (2002)} {f (2002) -f (2003)} = \ lim_ {z \ to 0} \ frac {- \ frac {2002} {24} z + \ frac {2003} {24} z + O (z ^ 2)} { - \ frac {2003} {24} z + \ frac {2004} {24} z + O (z ^ 2)} = \ lim_ {z \ a 0} \ frac {\ frac {z} {24} + O (z ^ 2)} {\ frac {z} {24} + O (z ^ 2)} = 1 $$

Answer 2

Sólo por diversión, estoy agregando este tiempo de cálculo que no impliquen el Hospital de la regla y explica su (...). $$ \lim_{x \to 1}\left(\frac{n}{1-x^n}-\frac{n+1}{1-x^{n+1}}\right) \\ = \lim_{x \to 1} \frac {\frac{n}{1 + x + \cdots + x^{n-1}} - \frac{n+1}{1+x+\cdots+x^n} }{1-x} \\ = \lim_{x \to 1} \frac 1{1+x+\cdots+x^{n-1}} \frac 1{1+x+\cdots +x^n} \frac{n(1 + x + \cdots + x^n) - (n+1)(1+x+\cdots+x^{n-1}) }{1-x} \\ = \frac 1{n(n+1)} \lim_{x \to 1} \frac {nx^n - (1+x+\cdots+x^{n-1})}{1-x} \\ = \frac{-1}{n(n+1)} \lim_{x \to 1} \frac{(x^n - 1) + (x^n - x) + \cdots + (x^n - x^{n-1})}{x-1} \\ = \frac{-1}{n(n+1)} \lim_{x \to 1} \frac{(x^n - 1) + x(x^{n-1} - 1) + \cdots + x^{n-1}(x - 1)}{x-1} \\ = \frac{-1}{n(n+1)} \lim_{x \to 1} \left( (1+x+\cdots+x^{n-1}) + x(1+x+\cdots + x^{n-2}) + \cdots + x^{n-2}(1+x) + x^{n-1}(1) \right) \\ = \frac{-1}{n(n+1)} \lim_{x \to 1} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{n-i} x^{i+j}\\ = \frac{-1}{n(n+1)} \left( n + (n-1) + \cdots + 1 \right) \\ = \frac {-1}2. $$