Limitar pregunta: $\displaystyle \lim_{x\to\ 0} \frac{a^{\tan\ x} - a^{\sin\ x}}{\tan\ x -\sin\ x}$

Question

Cómo encontrar el valor de $$\lim_{x\to\ 0} \frac{a^{\tan\ x} - a^{\sin\ x}}{\tan\ x - \sin\ x}$ $ de forma fácil.

Answer 1

Que $u=\tan(x)-\sin(x)$. Tenga en cuenta que $x\to 0$, $u\to 0$. Entonces, podemos escribir

$$\begin{align} \lim{x\to 0}\frac{a^{\tan(x)}-a^{\sin(x)}}{\tan(x)-\sin(x)}&=\left(\lim{x\to 0}\frac{a^{\tan(x)-\sin(x)}-1}{\tan(x)-\sin(x)}\right)\,\left(\lim{x\to 0}a^{\sin(x)}\right)\\ &=\left(\lim{u\to 0}\frac{a^u-1}{u}\right)\,\left(\lim_{x\to 0}a^{\sin(x)}\right)\\ &=\log(a) \end {Alinee el} $$

desde

$$\lim{u\to 0}\frac{a^u-1}{u}=\left.\frac{da^u}{du}\right|{u=0}=\log(a)$$

Answer 2

Observe que \lim{x \to $$ 0} \frac{\tan x - \sin x} {x ^ 3/2} = 1 por lo tanto de $$ $$ \lim{x\to\ 0} \frac{a^{\tan x} - a ^ {\sin x}} {\tan x - \sin x} = \lim{x\to\ 0} \frac{a^{\tan x} - a ^ {\sin x}} {\tan x - \sin x} \frac {\tan x - \sin x} {x ^ 3/2} = 2\ lim {x \to 0} \frac{a^{\tan x} - a ^ {\sin x}} {x ^ 3} $$ ahora l'Hopital sólo necesita ser aplicada $3$ veces.

Answer 3

Como Henry W; comentó: series de Taylor hacen cosas bastante simple.

$$A=a \tan(x) \implies \log(A)=\tan(x)\log(a)=\Big(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2 x^5}{15}+O\left(x^6\right)\Big)\log(a)$$ $$A=e^{\log(a)} \implies A = x 1 + \log (a) + \frac {1} {2} x ^ \log 2 ^ 2 + \frac {1} {6} x ^ 3 \left (\log ^ 3 (a) +2 (a) \log \right) + O\left(x^4\right) $$ Soing the same with the second term of numerator $ $B = un \sin(x) \implies B \log 1 + x (a) = \frac {1} {2} x ^ \log 2 ^ 2 + \frac {} 1} {6} x ^ 3 \left (\log ^ 3 (a)-\log (a)\right)+O\left(x^4\right)$$ So the numerator is $$\frac{1}{2} x^3 \log (a)+O\left(x^4\right)$$ Using again the series for $\sin(x)$ and $\tan(x) $, the denominator is $$\frac{x^3}{2}+O\left(x^4\right)$$ which makes the ratio $$\frac{a^{\tan\ x} - a^{\sin\ x}}{\tan\ x -\sin\ x}=\log (a)+O\left(x^1\right)$$ Using more terms would lead to $% $ $\frac{a^{\tan\ x} - a^{\sin\ x}}{\tan\ x -\sin\ x}=\log (a)+x \log ^2(a)+O\left(x^2\right)$mostrando el límite y cómo se aborda.

Answer 4

¡Utilizar la regla de L'Hopital!

Si $$\lim{x\to\ a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$ then $$\lim{x\to\ a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\ a} \frac{f'(x)}{g'(x)}=L$ $ siempre y cuando el límite es igual a $\frac 00$ o $\frac \infty\infty$.

Este límite es igual a $\frac 00$ porque $f(0)$ = $1-1 = 0$ y $g(0)$ = $0-0 = 0$, por lo tanto, $\frac 00$ y ahora puede utilizar la regla de L'Hopital.

Después de aplicar la regla de L'Hopital, se puede utilizar sustitución directa. Sin embargo, usted probablemente tendrá que hacer la regla de L'Hopital más de una vez.