Calculando el haz de 1-formas en una variedad tórica

Question

Considerar el espacio proyectivo $P^{2}$ y su abanico correspondiente. Tenemos los abiertos afines definidos por $U_{\sigma_{0}} = Spec(\mathbb{C}[x,y])$, $U_{\sigma_{1}} = Spec(\mathbb{C}[x^{-1},x^{-1}y])$ y $U_{\sigma_{2}} = Spec(\mathbb{C}[xy^{-1},y^{-1}])$ cf (Ejemplo 3.1.9 Cox, Little, and Schenck).

Dados estos abiertos afines, ¿cómo se calcularían las haces $\Omega^{1}_{\mathbb{P}^{2}}(U_{\sigma_{i}})$ y las funciones de transición en las intersecciones $U_{\sigma_{i}} \cap U_{\sigma_{j}}$? (cf Ejercicio 8.2.4 Cox, Little, and Schenck).

Entiendo la construcción mediante el uso de la transformación de las formas diferenciales con la matriz Jacobiana, pero no estoy seguro de cómo trabajar usando el enfoque anterior. Mi problema principal es que no sé cómo calcular $\Omega^{1}_{\mathbb{P}^{2}}(U_{\sigma_{i}})$.

Gracias

Answer 1

Recordemos la definición del módulo de diferenciales en un álgebra $\mathbb{C}$-algebra $R$: toma el $R$-módulo libre en los símbolos $\{ dr \colon r \in R \}$ y divide por las relaciones $d(r+s ) = dr + ds$, $d(rs) = sdr + r ds$, y $da = 0$ para $a \in \mathbb{C}$. Luego, el haz $\Omega_{R/\mathbb{C}}^1$ en $\textrm{Spec}(R)$ es la "virgulilla" de este módulo. Un hecho útil para cálculos (que se usará abajo) es el siguiente: basta con tomar el módulo libre en los símbolos $\{ dr_i \}_{i \in I}$, donde $\{ r_i \in R \colon i \in I \}$ es un conjunto generador (y luego dividir por las relaciones apropiadas).

En cada pieza del cubrimiento afín abierto dado de $\mathbb{P}^2_{\mathbb{C}}$, los módulos de diferenciales son $$ \Omega_{\mathbb{P}^1}^1 (U_{\sigma_0}) = \mathbb{C}[x,y] \cdot dx \oplus \mathbb{C}[x,y] \cdot dy $$ \begin{align*} \Omega_{\mathbb{P}^1}^1 (U_{\sigma_1}) &= \mathbb{C}[x^{-1},x^{-1} y] \cdot d(x^{-1}) \oplus \mathbb{C}[x^{-1}, x^{-1} y ] \cdot d(x^{-1} y)\\ &= \mathbb{C}[x^{-1}, x^{-1}y] \cdot x^{-2} dx \oplus \mathbb{C}[x^{-1}, x^{-1} y ] \cdot yx^{-2} dx \oplus \mathbb{C}[x^{-1}, x^{-1}y ] \cdot x^{-1} dy \end{align*} ¿Ahora, sabiendo esto, puedes calcular $\Omega_{\mathbb{P}^1}^1(U_{\sigma_2})$? Editar: por completitud, el módulo de diferenciales en $U_{\sigma_2}$ es \begin{align*} \Omega_{\mathbb{P}^1}^1(U_{\sigma_2}) &= \mathbb{C}[xy^{-1}, y^{-1}] \cdot d(xy^{-1}) \oplus \mathbb{C}[xy^{-1}, y^{-1}] \cdot d(y^{-1})\\ &= \mathbb{C}[xy^{-1}, y^{-1}] \cdot y^{-1} dx \oplus \mathbb{C}[xy^{-1}, y^{-1}] \cdot xy^{-1} dy \oplus \mathbb{C}[xy^{-1}, y^{-1}] \cdot y^{-2} dy. \end{align*>

Además, debido a la forma en que presentamos los módulos $\Omega_{\mathbb{P}^1}^1(U_{\sigma_0})$ y $\Omega_{\mathbb{P}^1}^1(U_{\sigma_1})$ arriba, ¡ya hemos calculado las funciones de transición! Por ejemplo, en la intersección $U_{\sigma_0} \cap U_{\sigma_1} = \textrm{Spec}\left( \mathbb{C}[x,x^{-1},y,x^{-1}y] \right)$, necesitamos determinar cómo escribir $d(x^{-1})$ y $d(x^{-1} y)$ en términos de $dx$ y $dy$, respectivamente. Las reglas que definen el módulo de diferenciales nos dicen que $$ d(x^{-1}) = x^{-2} dx $$ y $$ d(x^{-1} y) = x^{-2} y dx + x^{-1} dy, $$ así que tenemos nuestras funciones de transición en $U_{\sigma_0} \cap U_{\sigma_1}$. El mismo proceso se puede repetir en las otras dos intersecciones $U_{\sigma_0} \cap U_{\sigma_2}$ y $U_{\sigma_1} \cap U_{\sigma_2}$.