Supongamos que$A$ es una matriz$n\times n$ con entradas complejas y$A^*A=A^2$.
¿Implica$A=A^*.$
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- $A^2=A^*A$.Por qué $A$ es Hermitian de la matriz? (2 respuestas )
Respuesta
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Jukka Dahlbom
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Sí.
Si$A$ es normal y satisface la igualdad anterior, entonces$A$ es hermitiano, según el teorema espectral.
En el caso de que$A$ no sea normal, tenemos $$ \ operatorname {trace} (A ^ * A)> \ sum_ {j = 1} ^ n | \ lambda | ^ 2 \ geq \ left | \ sum_ {j = 1} ^ n \ lambda ^ 2 \ right | = \ left | \ operatorname {trace} (A ^ 2) \ right | $$ Entonces, si$A$ no es normal, es imposible tener$A^*A = A^2$.
Concluimos que si$A^*A = A^2$, entonces$A$ es Hermitian, como se desee.
